Длины и площади принцип

- принцип, выражающий зависимость между длинами кривых, принадлежащих нек-рому специальному семейству, и площадью, покрываемой этим семейством кривых. Пусть w=f(z)- регулярная в открытом множестве Gфункция. Пусть n(w)- число корней уравнения f(z)=w, лежащих в G; l(r)- суммарная длина кривых в G, на к-рых |f(z)|=p; А-площадь Gи [img: http://localhost:8080/file/020539-18.jpg] тогда Д. и п. п. выражается неравенством (см. [2]): [img: http://localhost:8080/file/020539-19.jpg] Д. и п. п. получил широкое применение в теории функций комплексного переменного (см. [1] - [4]). Д. и п. п. используется, напр., при изучении свойств функций, регулярных в круге |z|<l. В частности, с помощью Д. и п. п. доказывается следующая теорема (см. [2]): если функция w=f(z)=a0+a1z+...,mq=max |av|, регулярна в |z|<1 и имеет в нем не более [img: http://localhost:8080/file/020539-20.jpg] qнулей, из которых не более h лежит в |z|<1/2, то [img: http://localhost:8080/file/020539-21.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020539-22.jpg] (д)- константа, зависящая от д. Д. и п. п. и различные его обобщения (напр., длины и объема принцип) применяются и в случае га-мерных пространств к квазиконформным отображениям, а также к отображениям с ограниченным Дирихле интегралом (см. [4] - [7]). При выводе Д. и п. п. существенным образом используется неравенство Буняковского. Дальнейшее рассмотрение связи между длинами кривых и площадью, покрываемой ими, привело к важному методу изучения однолистных конформных и квазиконформных отображений - экстремальной метрики методу (см., напр., [8]). В конце 20-х - начале 30-х гг. метод экстремальной метрики в менее совершенной форме (метод полос) успешно применялся для исследования свойств указанных выше отображений односвязных и многосвязных областей.