Доверительное оценивание

- метод математич. статистики, предназначенный для построения множества приближенных значений неизвестных параметров вероятностных распределений. Пусть X- случайный вектор, принимающий значения на множестве [img: http://localhost:8080/file/020539-23.jpg] в евклидовом пространстве, причем распределение вероятностей этого вектора принадлежит параметрич. семейству распределений, заданному плотностями p(x|q), [img: http://localhost:8080/file/020539-24.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020539-25.jpg] относительно нек-рой меры m(x). Предполагается, что истинное значение параметрич. точки q, соответствующей результату наблюдений X, неизвестно. Суть Д. о. заключается в построении такого множества С(Х), зависящего от X, к-рое содержит значение заданной функции u(q), соответствующее неизвестному истинному значению параметрич. точки q. Пусть U - множество значений функции u(q), [img: http://localhost:8080/file/020539-26.jpg] и пусть С(х), [img: http://localhost:8080/file/020539-27.jpg] - какая-либо совокупность множеств, принадлежащих Uпри всех хиз [img: http://localhost:8080/file/020539-28.jpg] причем предполагается, что для произвольного элемента [img: http://localhost:8080/file/020539-29.jpg] и любого значения [img: http://localhost:8080/file/020539-30.jpg] определена вероятность события [img: http://localhost:8080/file/020539-31.jpg] Эта вероятность выражается интегралом [img: http://localhost:8080/file/020539-32.jpg] и наз. вероятностью накрытия множеством С(Х)значения ипри заданном значении q. Если истинное значение q неизвестно, то множество С{Х)(из совокупности множеств С(х), [img: http://localhost:8080/file/020539-33.jpg]), соответствующее результату наблюдений X, наз. доверительным множеством, или интервальной оценкой, для неизвестного истинного значения функции м(8). В качестве вероятностной характеристики интервальной оценки С(Х), построенной по указанному правилу, используется доверительная вероятность Р C(q), выражающаяся в терминах вероятности накрытия равенством [img: http://localhost:8080/file/020539-34.jpg] Иными словами, Р C(q)- вероятность накрытия множеством С(Х)значения заданной функции и(в), соответствующего неизвестной истинной параметрич. точке q. В тех случаях, когда доверительная вероятность Р C(q) от 9 не зависит, интервальную оценку С(Х)наз. подобной пространству выборок. Это название обусловлено аналогией формул [img: http://localhost:8080/file/020539-35.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020539-36.jpg] В более общей ситуации Р C(8) зависит от неизвестного q, и поэтому в практич. работе принято характеризовать качество интервальной оценки коэффициентом доверия [img: http://localhost:8080/file/020539-37.jpg] где нижняя грань вычисляется на множестве G (иногда коэффициент доверия наз. доверительным уровнем). Оптимизация Д. о. определяется теми требованиями, к-рые предъявляются к интервальным оценкам. Напр., если цель заключается в построении доверительных множеств, подобных пространству выборок и имеющих заданный коэффициент доверия со (0,5<w<1), то первое требование выражается тождеством [img: http://localhost:8080/file/020539-38.jpg] При этом естественно искать такие интервальные оценки, к-рые накрывают истинное значение u(q) с вероятностью, не меньшей вероятности накрытия любого произвольного значения [img: http://localhost:8080/file/020539-39.jpg] Иными словами, второе требование, называемое требованием несмещенности, выражается неравенством [img: http://localhost:8080/file/020539-40.jpg] В этих условиях "наилучшей" разумно считать ту интервальную оценку С, к-рая с меньшей вероятностью накрывает любое значение и, отличное от истинного и(q). Отсюда возникает третье требование "наибольшей селективности": для всякого другого доверительного множества С", отличного от Си удовлетворяющего условию [img: http://localhost:8080/file/020539-41.jpg] должно выполняться неравенство [img: http://localhost:8080/file/020539-42.jpg] Задача отыскания интервальных оценок С, удовлетворяющих указанным трем требованиям, эквивалентна задаче построения несмещенных, наиболее мощных статистич. критериев, подобных пространству выборок и имеющих уровень значимости 1 - w. Вопросы существования решения такой задачи и его конструктивного описания составляют основу общей теории статистич. проверки гипотез. Наиболее часто применяется Д. о. в ситуации, когда и(q) - скалярная функция. Пусть Х 1,..., Х n, [img: http://localhost:8080/file/020539-43.jpg] - независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному распределению с неизвестными параметрами ЕХ i=q1 и DXi= q2, причем требуется построить интервальную оценку для u(q)=q1. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020539-44.jpg] Поскольку случайная величина [img: http://localhost:8080/file/020539-45.jpg] подчиняется Стъюдента распределению с п-1 степенями свободы и это распределение не зависит от неизвестных параметров q1 и q2 ([img: http://localhost:8080/file/020539-46.jpg] q2>0), то при любом положительном tвероятность события [img: http://localhost:8080/file/020539-47.jpg] зависит лишь от t. Если указанный интервал принять за интервальную оценку Сдля q1, то ему будет соответствовать доверительная вероятность [img: http://localhost:8080/file/020539-48.jpg] не зависящая от q=(q1, q2). Такую интервальную оценку наз. доверительным интервалом, а ее концевые точки - доверительными границами, или доверительными пределами, причем в данном случае доверительный интервал представляет собой интервальную оценку, подобную пространству выборок. В приведенном примере интервальная оценка является несмещенной и наиболее селективной.