Дробное интегрирование и дифференцирование

- распространение операций интегрирования и дифференцирования на случай дробных порядков. Пусть j(x)интегрируема на отрезке [ а, b], [img: http://localhost:8080/file/020540-144.jpg] - интеграл от f по [ а, х], а [img: http://localhost:8080/file/020540-145.jpg] - интеграл от Iaa-1.f(x)по [ а, х], а=2,3,.... Имеет место соотношение [img: http://localhost:8080/file/020540-146.jpg] где Г(a)= (a-1)! - гамма-функция. Правая часть в (1) имеет смысл при всех a>0. Соотношение (1) определяет дробный интеграл (или интеграл Римана - Лиувилля) порядка а от f с началом в точке а. Оператор Iaz при комплексных значениях параметра z изучался Б. Риманом (В. Riemann, 1847). Оператор Iaa линеен и обладает полугрупповым свойством: [img: http://localhost:8080/file/020540-147.jpg] Операция, обратная дробному интегрированию, носит название дробного дифференцирования: если Iaf=F, то f есть дробная производная порядка aот F. При 0<a<1 имеет место формула Маршо: [img: http://localhost:8080/file/020540-148.jpg] Понятие Д. и. и д. впервые ввел Ж. Лиувилль (J. Liouville, 1832), в частности он рассмотрел оператор [img: http://localhost:8080/file/020540-149.jpg] a>0: [img: http://localhost:8080/file/020540-150.jpg] (при соответствующих ограничениях на функцию f; см. [1], где приведены также оценки оператора Ia в Lp). Для интегрируемой 2p-периодической функции f(x)с нулевым средним значением по периоду удобно (см. [2]) определение, предложенное Г. Вейлем (Н. Weyl, 1917): если [img: http://localhost:8080/file/020540-151.jpg] то интеграл Вейля fa (х)порядка a>0 функции f определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/020540-152.jpg] производная fb порядка b>0 определяется при этом равенством [img: http://localhost:8080/file/020540-153.jpg] где п- наименьшее целое, большее [5] отметим, что fa(x). совпадает с Iaf(x)). Перечисленные определения получили дальнейшее развитие в рамках теории обобщенных функций. Для периодических обобщенных функций [img: http://localhost:8080/file/020540-154.jpg] операция дробного интегрирования Iaf=fa выполнима по формуле (2) для любых действительных а(при отрицательных aIafсовпадает с дробной производной порядка а) и обладает групповым свойством по параметру a. В n-мерном пространстве Xаналогом оператора дробного интегрирования является риссов потенциал (или интеграл типа потенциала) [img: http://localhost:8080/file/020540-155.jpg] Обратная к Ra операция наз. риссовой производной порядка а.