Егорова теорема

о связи между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости последовательности функций: пусть m есть s-аддитивная мера, определенная на s-алгебре [img: http://localhost:8080/file/020601-21.jpg] и последовательность ц-измеримых почти везде конечных функций fk(x), [img: http://localhost:8080/file/020601-22.jpg] k=1, 2,..., сходится почти всюду к функции f(х);тогда для любого e>0 существует такое измеримое множество [img: http://localhost:8080/file/020601-23.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/020601-24.jpg] и на множестве Е e. последовательность fk(x)сходится к функции f(x)равномерно. В случае, когда m.- мера Лебега на прямой, это утверждение доказано Д. Ф. Егоровым [1]. Е. т. допускает различные обобщенные формулировки, расширяющие ее возможности. Пусть, напр., fk(x).- последовательность измеримых отображений локально компактного пространства Xв метризуемое пространство Y, причем [img: http://localhost:8080/file/020601-25.jpg] предел существует локально почти всюду на Xпо Радона мере [img: http://localhost:8080/file/020601-26.jpg] Тогда функция f: [img: http://localhost:8080/file/020601-27.jpg] измерима по мере m и для любых компакта КМ Х и числа e>0 найдется компакт [img: http://localhost:8080/file/020601-28.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/020601-29.jpg] а сужения fk на K1 непрерывны и равномерно сходятся на К 1 к f. Заключения Е. т. могут не выполняться, если Yне метризуемо.