Жиро условия

- условия разрешимости в классич. смысле основных краевых задач для линейного эллиптич. уравнения 2-го порядка. Пусть в ограниченной TV-мерной [img: http://localhost:8080/file/020802-13.jpg] области Dс границей Г задано эллиптич. уравнение [img: http://localhost:8080/file/020802-14.jpg] Требуется найти функцию и(х), к-рая: 1) принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/020802-15.jpg] 2) удовлетворяет в области Dуравнению (*); 3) на границе Г удовлетворяет условию и(х)=j(х). (первая краевая задача, или задача Дирихле), или условию [img: http://localhost:8080/file/020802-16.jpg] (вторая краевая задача, или задача Неймана), или условию [img: http://localhost:8080/file/020802-17.jpg] (третья краевая задача). Здесь v - направление конормали, его направляющие косинусы равны. [img: http://localhost:8080/file/020802-18.jpg] п- внешняя нормаль к границе Г, l- произвольное направление, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/020802-19.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/020802-20.jpg] знак + показывает, что берется предельное значение изнутри области D. Жиро условия разрешимости указанных краевых задач состоят в следующем. Если коэффициенты aij(x), bi(x), c(x)оператора Lпринадлежат в области (D+Г)классу С (0, m), правая часть уравнения f(x) [img: http://localhost:8080/file/020802-21.jpg] С (0, m) [img: http://localhost:8080/file/020802-22.jpg] краевое условие [img: http://localhost:8080/file/020802-23.jpg] и b(x) [img: http://localhost:8080/file/020802-24.jpg] С (0) (Г) (для второй и. третьей краевых задач), [img: http://localhost:8080/file/020802-25.jpg] (для третьей краевой задачи), а граница Г области Dпринадлежит классу А (1,m), то для первой, второй и третьей краевых задач справедлива альтернатива Фредгольма, т. е. либо соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение и тогда неоднородная задача имеет единственное решение при любых f и j, либо однородная задача имеет р, [img: http://localhost:8080/file/020802-26.jpg] линейно независимых решений u1,..., и р и тогда неоднородная задача разрешима лишь в случае, если ропределенных линейных функционалов от f и j обращаются в нуль, причем при выполнении этого последнего условия неоднородная задача имеет бесконечно много решений, и если и 0 -одно из этих решений, то общее решение представимо в виде [img: http://localhost:8080/file/020802-27.jpg] где с i - произвольные постоянные. В случае, когда коэффициенты оператора Lявляются более гладкими [img: http://localhost:8080/file/020802-28.jpg] так что можно рассматривать сопряженный оператор L*, требование обращения в нуль линейных функционалов от f и j сводится к ортогональности f и j ко всем рлинейно независимым решениям однородной сопряженной задачи. Ж. у. получены Ж. Жиро [1] - [3].