Жорданова матрица

- квадратная блочно-диагональная матрица J над полем к, имеющая вид [img: http://localhost:8080/file/020802-86.jpg] где Jm(l)- квадратная матрица порядка твида [img: http://localhost:8080/file/020802-87.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020802-88.jpg] Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]). Для произвольной квадратной матрицы Анад алгебраически замкнутым полем квсегда существует такая квадратная невырожденная матрица Снад k, что С -1 АС является Ж. м. (иначе говоря, A подобна над кнекоторой Ж. м.). Это утверждение справедливо и при более слабых ограничениях на поле k:для того чтобы матрица Абыла подобна над кнек-рой Ж. м., необходимо и достаточно, чтобы поле ксодержало все корни минимального многочлена матрицы А. Матрица С -1 АС, указанная выше, наз. жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы A. Такая нормальная форма рассматривалась одним из первых К. Жорданом [1] (см. также историч. очерк к гл. VI и VII книги [2]). Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две Ж. м. подобны над кв том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали. Количество С т(k)жордановых клеток порядка тс собственным числом кв жордановой форме матрицы Аопределяется формулой [img: http://localhost:8080/file/020802-89.jpg] где Е- единичная матрица того же порядка п, что и А, rk В- ранг матрицы В, а rk (А-lE)0, по определению, равен п. Помимо жордановой нормальной формы, имеется и ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, напр., когда хотят исключить неоднозначность приведения к жордановой форме или когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы (см. [2] - [5]). С точки зрения теории инвариантов Ж. м.- это канонич. представители в орбитах присоединенного представления для полной линейной группы. Нахождение аналогичных представителей для произвольной редуктивной алгебраич. группы является пока (1978) нерешенной до конца задачей (см. [6], [7]).