Замкнутая категория

- категория с дополнительной структурой, позволяющей использовать внутренний Hom-функтор как сопряженный справа функтор к абстрактному тензорному произведению. Категория [img: http://localhost:8080/file/020901-55.jpg] наз. замкнутой, если в ней задан бифунктор [img: http://localhost:8080/file/020901-56.jpg] (см. Функтор), выделен объект I, заданы естественные изоморфизмы и [img: http://localhost:8080/file/020901-57.jpg] выполнены следующие условия: 1) естественные изоморфизмы a, l, r, х когерентны; 2) каждый функтор [img: http://localhost:8080/file/020901-58.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020901-59.jpg] - категория множеств, представим. Представляющие объекты обычно обозначаются [img: http://localhost:8080/file/020901-60.jpg] и их можно рассматривать как значения на объектах бифунктора [img: http://localhost:8080/file/020901-61.jpg] (внутренний Ногафунктор). Если бифунктор [img: http://localhost:8080/file/020901-62.jpg] совпадает с произведением, а объект I является правым нулем (терминальным объектом) категории [img: http://localhost:8080/file/020901-63.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020901-64.jpg] наз. декартово замкнутой. Декартово замкнутыми являются:" категории множеств, категория малых категорий, категория пучков множеств над топологич. пространством; замкнутыми - категория модулей над коммутативным кольцом с единицей, категория действительных (или комплексных) банаховых пространств и линейных отображений с нормой, не превосходящей единицы.