Замыкание вычислительного алгоритма

- система уравнений [img: http://localhost:8080/file/020901-112.jpg] предельная при [img: http://localhost:8080/file/020901-113.jpg] для системы частично разрешенных уравнений [img: http://localhost:8080/file/020901-114.jpg] описывающих последовательные этапы вычислительного алгоритма решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/020901-115.jpg] (напр., сеточного уравнения, тогда h- шаг сетки), аппроксимирующего при h->0 уравнение [img: http://localhost:8080/file/020901-116.jpg] При этом Lh0=Lh, fh0=fh, LhM- тождественный оператор, fhM= (Lh)-1fh=uh, т. е. на М-м этапе алгоритма получается окончательное решение аппроксимирующего уравнения (3). Функция z(m, h)предполагается возрастающей вместе с т (напр., линейной возрастающей) и удовлетворяющей граничным условиям z(0, h) = 0, z(M, h) = Z.He исключается возможность М=бесконечность;. в этом случае [img: http://localhost:8080/file/020901-117.jpg] понимаются как пределы переменных [img: http://localhost:8080/file/020901-118.jpg] z(m, h)при [img: http://localhost:8080/file/020901-119.jpg] Случай [img: http://localhost:8080/file/020901-120.jpg] соответствует итерационным методам решения уравнения (3). Если операторы L2 в уравнении (1) ограничены равномерно по z, то говорят, что алгоритм (2) имеет регулярное замыкание. Хотя множества алгоритмов с регулярным замыканием и реально устойчивых алгоритмов не совпадают, построение 3. в. а. часто помогает при исследовании устойчивости алгоритма к различным возмущениям, в частности к вычислительной погрешности (см. [3], [4]). Понятие 3. в. а. введено в [1]. Там же получено и исследовано замыкание алгоритма последовательного исключения неизвестных решения сеточного уравнения, аппроксимирующего уравнение (4), где Lu=u-Au, А- интегральный оператор Фредгольма. Построение 3. в. а. и обратная операция - построение по непрерывному процессу дискретного алгоритма, имеющего этот процесс своим замыканием,- бывают полезными при конструировании новых методов решения задач. В частности, большое число итерационных методов имеет своими замыканиями устанавливающиеся процессы. Напр., методу простой итерации решения сеточного уравнения Лапласа соответствует процесс установления ut=D и, трехслойному итерационному методу - процесс установления и tt+aut=Du (см. [5]).