Запаздывающих потенциалов метод

принцип Дюамеля,- метод отыскания решения однородной задачи Коши для неоднородного линейного дифференциального уравнения или системы с частными производными по -известному решению однородного уравнения или системы. Пусть дано уравнение [img: http://localhost:8080/file/020902-34.jpg] где L- произвольный линейный дифференциальный оператор, к-рый не содержит производных по tвыше п-1 порядка. Частное решение и(х, t)уравнения (1) при t>0 ищется в виде Дюамеля интеграла [img: http://localhost:8080/file/020902-35.jpg] где j является (регулярным или обобщенным) решением однородного уравнения [img: http://localhost:8080/file/020902-36.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/020902-37.jpg] то функция (2), полученная с помощью суперпозиции импульсов j, будет решением задачи Коши [img: http://localhost:8080/file/020902-38.jpg] для неоднородного уравнения (1). В случае обыкновенных дифференциальных уравнений и систем 3. п. м. известен под названием метода вариации постоянных, или метода импульсов. Этот метод для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка т: [img: http://localhost:8080/file/020902-39.jpg] заключается в том, что если u1(t), u2(i),..., um(t)- какая-либо фундаментальная система решений уравнения lи=0, то решение u(t)неоднородного уравнения (4) отыскиваетсяв виде [img: http://localhost:8080/file/020902-40.jpg] Функции cj=dcj/dt, j=l,..., т, однозначно определяются как решения системы алгебраич. уравнений [img: http://localhost:8080/file/020902-41.jpg] с отличным от нуля детерминантом Вроньского. Если f(i)=0 при [img: http://localhost:8080/file/020902-42.jpg] то решение uf(t)однородной задачи Коши (3) для уравнения (4) принято наз. нормальной реакцией на внешнюю нагрузку uf(t). Функция и f(t)представима в виде свертки или интеграла Дюамеля [img: http://localhost:8080/file/020902-43.jpg] где Zcp(i)=0 при t>0 и [img: http://localhost:8080/file/020902-44.jpg] Пусть f(x, t), x=(х 1,..., xn),- функция, имеющая непрерывные частные производные до порядка (n+1)/2 в случае нечетного пи (n+2)/2 - в случае четного п,a Mr[f(x, t)]-среднее значение f на сфере | у-х| = r с центром в точке хи радиуса r. Зависящая от неотрицательного параметра [img: http://localhost:8080/file/020902-45.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/020902-46.jpg] является решением волнового уравнения [img: http://localhost:8080/file/020902-47.jpg] удовлетворяющим начальным условиям [img: http://localhost:8080/file/020902-48.jpg] Интеграл Дюамеля [img: http://localhost:8080/file/020902-49.jpg] представляет собой решение однородной задачи Коши: и(х,0) = 0, ut(х,0) = 0 для уравнения [img: http://localhost:8080/file/020902-50.jpg] При n=2 и n=3 из (5) получаются выражения [img: http://localhost:8080/file/020902-51.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020902-52.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020902-53.jpg] Если же n=1, то [img: http://localhost:8080/file/020902-54.jpg] Интеграл (6) наз. запаздывающим потенциалом с плотностью f. 3. п. м. (метод вариации параметров) особенно прост и полезен, когда он применяется к линейным системам дифференциальных уравнений 1-го порядка вида [img: http://localhost:8080/file/020902-55.jpg] где и=и(х, t)- вектор с ккомпонентами, А i и В- заданные матрицы размера k [img: http://localhost:8080/file/020902-56.jpg] k, а f - заданный вектор. Пусть вектор j=j(x, t;t), зависящий от параметра [img: http://localhost:8080/file/020902-57.jpg] есть решение задачи Коши [img: http://localhost:8080/file/020902-58.jpg] для однородной системы Sj=0. Тогда вектор [img: http://localhost:8080/file/020902-59.jpg] является решением неоднородной системы (7) с начальным условием [img: http://localhost:8080/file/020902-60.jpg] Функция ф(x, t;t), соответствующая неоднородному уравнению теплопроводности [img: http://localhost:8080/file/020902-61.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/020902-62.jpg] где Rn- евклидово пространство. Решение и(х, t)уравнения (10) с начальным условием (9) задается интегралом Дюамеля (3), где под знаком интеграла стоит функция (11). З. п. м. используется и при исследовании смешанных задач для уравнений с частными производными параболич. и гиперболич. типов, позволяя общую задачу редуцировать к задачам со специальными начальными и граничными функциями. Напр., пусть в области W={(x, t)|a<x<b, 0<t<T} ведано уравнение с частными производными [img: http://localhost:8080/file/020902-63.jpg] где В,b, c=const, B<0, [img: http://localhost:8080/file/020902-64.jpg] к-рое гиперболично при x<0 и параболично при x>0. Если j>(x, t) - непрерывно дифференцируемое при х=0 решение смешанной задачи [img: http://localhost:8080/file/020902-65.jpg] для уравнения (12) в области W, то, согласно 3. п. м., интеграл Дюамеля [img: http://localhost:8080/file/020902-66.jpg] с непрерывно дифференцируемой плотностью f(t)будет решением смешанной задачи [img: http://localhost:8080/file/020902-67.jpg] для уравнения (12) в области W. Интеграл Дюамеля (13) по существу есть формула представления линейного оператора Т, к-рый преобразует заданную граничную функцию f(t) в решение и(х, t). Интегральная формула Дюамеля имеет место не только для оператора Тиз (13), но и для всех линейных операторов Т, удовлетворяющих следующим условиям. 1) Оператор Топределен для всех функций f(t), равных нулю при t<0, и преобразует f в функцию Tf=u(x1,..., х п, t), также равную нулю при t<0. 2) [img: http://localhost:8080/file/020902-68.jpg] где q(t,t) - некоторая функция tи параметра т. 3) Если f(0)=0 и f(t)дифференцируема, то [img: http://localhost:8080/file/020902-69.jpg] 4) Если Tf(t)=j(t), то для всех t>0 [img: http://localhost:8080/file/020902-70.jpg]