Зигеля метод

- метод исследования арифметич. свойств значений в алгебраич. точках E-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из C(z); был предложен К. Зигелем [1]. Целая функция [img: http://localhost:8080/file/020903-66.jpg] наз. Е-ф ункцией, если все коэффициенты с п принадлежат нек-рому алгебраич. полю конечной степени, причем для каждого e>0 максимум модулей, сопряженных с с n, есть О(п гп)и существует последовательность целых рациональных чисел qn=О(nen) таких, что qnck есть целое алгебраич. число для k=0,1,..., п. Таковы, напр., е z, sin z, функция Бесселя J0(z). Пусть [a, 0]=1, а [a, п]=(a+п-1) [a, п-1], n=1, 2,... Если a1,..., al и b1,..., b т- рациональные числа, bk неравно -1, -2,... и т-l=t>0, то функция [img: http://localhost:8080/file/020903-67.jpg] является E-функцией; она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению порядка тс коэффициентами из C(z). Основной результат К. Зигеля относится к значениям функции [img: http://localhost:8080/file/020903-68.jpg] где J(z) - функция Бесселя. Если X- рациональное число, [img: http://localhost:8080/file/020903-69.jpg] то при любом алгебраическом [img: http://localhost:8080/file/020903-70.jpg] числа Кl(a). и К'l(a). алгебраически независимы над Q. В 1949 К. Зигель придал своему методу общую форму, однако условия, к-рым должны были удовлетворять E-функции f1(z),..., fm(z)для того, чтобы можно было утверждать, что их значения алгебраически независимы, оказались очень трудно проверяемыми. И это не позволило установить какие-либо новые конкретные результаты. Дальнейшее развитие и обобщение 3. м. получил в работах А. Б. Шидловского (см. [2] - [3]): пусть совокупность E-функций f1(z),..., fm(z)является решением системы дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/020903-71.jpg] и алгебраич. число a. отлично от нуля и особых точек системы (1); тогда, для того чтобы тчисел f1(a),..., fm(a). были алгебраически независимы над полем Q, необходимо и достаточно, чтобы функции f1(z),..., fm(z) были алгебраически независимы над C(z). Из этой теоремы, в частности, следует трансцендентность всех чисел fk(a), если f1(z),..., fm(z)алгебраически независимы, а также трансцендентность отличных от нуля и полюсов системы (1) А-точек функций fk(z)при алгебраическом А;она позволила получить многочисленные результаты, относящиеся к конкретным Е- функциям, доказать алгебраич. независимость значений E-функций, удовлетворяющих линейным однородным и неоднородным дифференциальным уравнениям порядка большего двух. Напр., для функции [img: http://localhost:8080/file/020903-72.jpg] удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению порядка кс коэффициентами из C(z), справедливо следующее утверждение: при любом алгебраическом [img: http://localhost:8080/file/020903-73.jpg] r(r-1)/2 чисел 1=0, [img: http://localhost:8080/file/020903-74.jpg].1,..., k-1, k=1,2,..., r алгебраически независимы над Q. При тех же условиях максимальное количество алгебраически независимых над Qчисел среди f1 (а),..., fm(a) равно максимальному количеству алгебраически независимых над С (z) функций среди f1(z),..., fm(z). Если f1(z),..., fl(z)- алгебраически независимые над С (z) E -функции, удовлетворяющие системе (1), то для всех, кроме конечного числа, точек а числа f1(a),..., fl(a)алгебраически независимы над Q. В каждом конкретном случае исключительные точки могут быть определены. Этими теоремами решаются, по существу, все задачи общего характера о трансцендентности и алгебраич. независимости значений E-функций в алгебраических точках. 3. м. позволяет оценивать меру алгебраич. независимости чисел f1(a),..., fm(a), придав тем самым результатам количественную форму. Если функции f1(z),..., fm{z)алгебраически независимы, то Ф(f1(a),..., fm(a); [img: http://localhost:8080/file/020903-75.jpg] где С>0 не зависит от H, а у >0 зависит только от ти степени алгебраич. числа а.