Идеальное число

- элемент полугруппы D дивизоров кольца Ацелых чисел нек-рого поля алгебраич. чисел. Полугруппа D- коммутативная свободная полугруппа с единицей; ее свободные образующие наз. простыми идеальными числами. В современной терминологии И. ч. наз. целыми дивизорами кольца А. Они допускают естественное отождествление с идеалами кольца А. И. ч. были введены в связи с отсутствием однозначности разложения на простые множители в кольцах целых алгебраич. чисел. Для каждого [img: http://localhost:8080/file/021002-75.jpg] разложение соответствующего дивизора j(а). в произведение простых И. ч. можно рассматривать как нек-рую замену однозначности разложения на простые множители в случае, когда такое разложение в кольце А неоднозначно. Напр., кольцо Авсех целых чисел поля [img: http://localhost:8080/file/021002-76.jpg] состоит из всех чисел вида а+b [img: http://localhost:8080/file/021002-77.jpg] с целыми аи b. В этом кольце число 6 допускает два различных разложения на множители: [img: http://localhost:8080/file/021002-78.jpg] причем числа 2, 3, [img: http://localhost:8080/file/021002-79.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021002-80.jpg] - простые попарно неассоциированные элементы кольца А; таким образом, разложение на простые множители в Анеоднозначно. Однако в полугруппе Dэлементы j(2), j(3), j(1+ [img: http://localhost:8080/file/021002-81.jpg]), ф(1- [img: http://localhost:8080/file/021002-82.jpg]) не будут простыми, а именно: [img: http://localhost:8080/file/021002-83.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021002-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021002-85.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021002-86.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021002-87.jpg] - простые И. ч. в D. Таким образом, два разложения числа 6 на простые множители в кольце Апродолжаются до одного и того же разложения [img: http://localhost:8080/file/021002-88.jpg] в D. Понятие И. ч. было введено Э. Куммером (Е. Rummer) в связи с исследованием арифметики круговых полей (см. [1] - [2]). Пусть K=Q(z) - поле деления круга на р частей и А= Z(x) - кольцо целых чисел поля AT. И. ч. для кольца A определялись как произведение простых И. ч., а эти последние - как "идеальные" простые делители простых натуральных чисел. Для построения всех простых И. ч., делящих заданное простое натуральное q, использовалась Куммера теорема. Пользуясь тем, что Аимеет степенной базис 1, x, x2,...,xp-2 над Z, Э. Куммер рассматривал разложение кругового многочлена F р (Х). в кольце Z/qZ[X]. И. ч., делящими число q, объявлялись элементы, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми множителями F р (Х)в Z/qZ[X](несколько другого подхода требовал случай p = q). Специальный метод применялся для определения показателя степени, с к-рым данное простое И. ч. входит в данное [img: http://localhost:8080/file/021002-89.jpg] Аналогичный метод он разработал для создания теории делимости в полях вида Q(x, [img: http://localhost:8080/file/021002-90.jpg]), где [img: http://localhost:8080/file/021002-91.jpg] Перенесение теории И. ч. на случай произвольного поля алгебраических чисел принадлежит в основном Л. Кронекеру (L. Kronecker) и Р. Дедекинду (R. Dedekind). Уже в их работах наметилось разделение теории И. ч. на теорию дивизоров (подход Л. Кронекера) и теорию идеалов. Р. Дедекинд каждому И. ч. взаимно однозначно сопоставлял идеал кольца А, к-рый определялся им как подмножество в А, состоящее из О и всех таких а, что аделится на это И. ч. При этом, если а 1,..., а п- образующие, идеала I, то соответствующее I И. ч. является наибольшим общим делителем И. ч. j(a1),..., j(an). Впоследствии понятие идеала было распространено на случай произвольного кольца А; кольца, для к-рых понятия идеала и дивизора совпадают, наз. теперь дедекиндовыми.