Изгибание на главном основании

- изгибание Ft поверхности F=F0, при к-ром направления экстремального изгиба остаются неизменными. Сеть, образованная линиями, имеющими направление экстремального изгиба, является сопряженной на каждой из поверхностей Ft и наз. главным основанием изгибания. Напр., геликоид имеет бесконечное число главных оснований; вращения поверхности и каналовые поверхности допускают И. на г. о., одно из семейств к-рого состоит из геодезич. линий (см. также Фосса поверхности). Задача исследования И. на г. о. была поставлена К. М. Петерсоном [1] в 1866; он же установил, что если нек-рая поверхность Fизометрично -преобразована в две другие поверхности F' и F" так, что направления экстремального изгиба (и, следовательно, основание изгибания) F в F' совпадают с направлениями экстремального изгиба Fв F", то существует изгибание Ft поверхности F, включающее F' и F", с теми же направлениями экстремального изгиба; другими словами, если нек-рая сопряженная сеть на Fслужит основанием двух различных ее изгибаний F' и F", то она является главным основанием изгибания. Если известны поверхности F, F', F", то все остальные поверхности Ft, получаемые при изгибании Fна главном основании, определяются теоремой: пусть x.- нормальная кривизна Fв направлении одного из двух семейств главного основания а в произвольной точке [img: http://localhost:8080/file/021003-53.jpg] а x', x", xt- нормальные кривизны поверхностей F', F" и Ft в соответствующих точках и направлениях, тогда двойное отношение t=(х 2, x'2,x"2, x2t)сохраняет постоянную величину для всех положений Мна F. Поверхность, допускающая И. на г. о., может быть охарактеризована только сферическим изображением главного основания: уравнения, описывающие И. на г. о., преобразуются так, что содержат только коэффициенты линейного элемента сферич. изображения поверхности и получают вид: [img: http://localhost:8080/file/021003-54.jpg] (уравнения Коссера), где [img: http://localhost:8080/file/021003-55.jpg] - символы Кристоффеля третьей квадратичной формы поверхности, а дифференцирование ведется вдоль координатных линий и, v, составляющих главное основание изгибания. Сферич. изображение главного основания изгибания совпадает со сферич. изображением асимптотич. линий Бианки поверхности, к-рая является вращений индикатрисой (или присоединенной поверхностью) бесконечно малого изгибания F, соответствующего И. на г. о., а также с изображением в смысле Клиффорда асимптотич. линий нек-рой поверхности в эллиптич. пространстве (являющейся поворотов диаграммой И. на г. о. поверхности F). Не все поверхности обладают главным основанием, т. е. поверхности, допускающие И. на г. о., образуют специальный класс поверхностей [4]. Обобщением И. на г. о. является изгибание на кинематическом основании, к-рое определяется тем, что коэффициенты второй квадратичной формы bij удовлетворяют уравнению bijAij=c, где Aij -некоторый невырожденный тензор, с - функция, зависящая от метрики gij поверхности Fи ее производных.