Импримитивная группа

- группа Gвзаимно однозначных отображений на себя (подстановок)нек-рого множества S, для к-рой существует разбиение множества Sв объединение непересекающихся подмножеств S1,..., Sm, [img: http://localhost:8080/file/021006-81.jpg] обладающее следующими свойствами: число элементов хотя бы в одном из Si больше единицы; для любой подстановки [img: http://localhost:8080/file/021006-82.jpg] и любого номера i, [img: http://localhost:8080/file/021006-83.jpg] существует такой номер j, [img: http://localhost:8080/file/021006-84.jpg] что gотображает Si на Sj. Набор подмножеств S1,..., Sm наз. системой импримитивности, а сами подмножества Si- областями импримитивности группы G. Не импримитивная группа подстановок наз. примитивной. Примером И. г. может служить нетривиальная интранзитивная группа Gподстановок множества S(см. Транзитивная группа):в качестве системы импримитивности можно взять набор всех орбит (областей транзитивности) Gна S. Транзитивная группа подстановок Gмножества Sпримитивна тогда и только тогда, когда для какого-либо (а, значит, и для любого) элемента [img: http://localhost:8080/file/021006-85.jpg] множество подстановок из G, оставляющих уна мосте, является максимальной подгруппой в G. Понятие И. г. подстановок имеет аналог для групп линейных "преобразований векторных пространств. Именно, линейное представление р группы Gназ. импримитивным, если существует разложение пространства Vпредставления р в прямую сумму собственных подпространств V1,..., Vm, обладающее следующим свойством": для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/021006-86.jpg] и любого номера i, [img: http://localhost:8080/file/021006-87.jpg] найдется такой номер j, [img: http://localhost:8080/file/021006-88.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021006-89.jpg] Набор подпространств V1,..., Vm наз. системой импримитивности представления р. Если Vне обладает разложением указанного типа, то представление р наз. примитивным. Импримитивное представление р наз. транзитивным имиримитивным, если для любой пары подпространств V;и Vj из системы импримитивности существует такой элемент [img: http://localhost:8080/file/021006-90.jpg] что p(g)(Vi)=Vj. Группа p(G)линейных преобразований пространства Vи G-модуль V, определяемый представлением р, также наз. импримитивными (примитивными), если представление р является импримитивным (примитивным). Примеры. Представление р симметрич. группы Sn в n-мерном векторном пространстве над полем k, переставляющее элементы базиса е 1,..., е п, является транзитивным импримитивным; одномерные подпространства {ke1,..., kе п}образуют для р систему импримитивности. Транзитивным импримитивным является также регулярное представление конечной группы Gнад полем k;набор одномерных подпространств kg, где gпробегает всю G, образует систему импримитивности. Более общо, любое мономиальное представление конечной группы является импримитивным. Представление циклич. группы порядка [img: http://localhost:8080/file/021006-91.jpg] поворотами действительной плоскости на углы, кратные 2p/т, примитивно. Понятие импримитивного представления тесно связано с понятием индуцированного представления. А именно, пусть р - импримитивное конечномерное представление конечной группы Gс системой импримитивности {V1,..., Vn}. Множество {V1,..., Vn} разбивается в объединение орбит относительно действия группы G, определенного представлением р. Пусть {Vi1,..., Vis }- полный набор представителей различных орбит этого действия, [img: http://localhost:8080/file/021006-92.jpg] j т- представление группы Н т в Vin, определенное сужением представления р на Н т, и r т- представление группы G, индуцированное jm. Тогда р эквивалентно прямой сумме представлений r1,..., rs. Обратно, пусть Н 1,..., Н s- какой-либо набор подгрупп группы G,jm - представление группы Н т в конечномерном векторном пространстве Wm,m=l,..., s, и r т - представление группы G, индуцированное jm. Пусть также [img: http://localhost:8080/file/021006-93.jpg] - система представителей левых смежных классов группы Gпо Н т. Тогда прямая сумма пред-, ставлений r1,..., rs импримитивна, a r(gm,j).(Wm), j=1,..., rm,m=l,..., s, является системой импримитивности (здесь Wm канонически отождествляется с подпространством в V).