Инвариантная мера

- 1) И. м. в измеримом пространстве [img: http://localhost:8080/file/021007-5.jpg] относительно измеримого преобразования Тэтого пространства - такая мера m на [img: http://localhost:8080/file/021007-6.jpg] что m(A)=m(T-1A). для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-7.jpg] Обычно подразумевается, что мера конечная (т. е. [img: http://localhost:8080/file/021007-8.jpg] или по крайней мере cr-конечная (т. е. Xможно представить в виде счетного объединения [img: http://localhost:8080/file/021007-9.jpg] где. [img: http://localhost:8080/file/021007-10.jpg] В наиболее важном случае, когда Т- биекция и отображение T-1 тоже измеримо (тогда говорят, что Тобратимо, имея в виду обратимость в классе измеримых преобразований), инвариантность меры m эквивалентна тому, что m(A)=m(TA). для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-11.jpg] Наконец, И. м. для семейства (измеримых) преобразований - полугруппы, группы, потока и т. д.- называется мера, инвариантная относительно всех преобразований из этого семейства. Понятие И. м. играет важную роль в теории динамич. систем и эргодич. теории. В последней рассматриваются различные свойства динамич. систем в пространстве с мерой [img: http://localhost:8080/file/021007-12.jpg] имеющих m. своей И. м. Если динамич. система имеет несколько И. м., напр. m и v, то ее свойства как системы в (X, B, m) (свойства по отношению к И. м. m) могут отличаться от ее же свойств как системы в [img: http://localhost:8080/file/021007-13.jpg] (свойств по отношению к v). Когда у фиксированной динамич. системы рассматриваются разные И. м., то о свойствах системы относительно И. м. и. часто говорят короче как о свойствах меры и. (напр., "эргодичность m" означает эргодичность данной системы как системы в (X, B,m), т. е. отсутствие инвариантных множеств [img: http://localhost:8080/file/021007-14.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021007-15.jpg] Исторически первые примеры И. м. связаны с дифференциальными свойствами преобразований, образующих потоки нек-рых специальных типов на гладких многообразиях (см. Гамильтонова система, Интегральный инвариант). В терминах (локальных) координат х г,..., х п эти меры и. представляются в виде dm=rdx1... dxn, причем имеются явные выражения для плотности r=r(x1,..., х п). В примерах алгебраич. происхождения (групповые сдвиги и т. д.) И. м. часто является мера Хаара или мера, получающаяся из нее с помощью какой-нибудь естественной конструкции. В топологич. динамике Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым ([1], см. также [2], [3]) доказано существование конечных эргодич. И. м. для непрерывных потоков и каскадов на метрич. компакте X(возможны нек-рые обобщения [4], [5], [6]). Неэргодические конечные И. м. являются, в нек-ром смысле, линейными комбинациями эргодических; носители конечных И. м.. определенным образом связаны с поведением траекторий в X(все эти И. м. сосредоточены на так наз. минимальном центре притяжения [3]). Не приходится рассчитывать на более подробные утверждения о свойствах И. м. в общем случае - они могут быть совсем различными. Так, в одном случае эргодич. И. м. может быть сосредоточена в одной точке, в другом - быть положительной для всех открытых подмножеств Xи обладать свойствами "квазислучайного" характера (перемешивание, положительная энтропия и т. д.), описание и исследование к-рых относится к эргодич. теории (тогда как обращение к последней в предыдущем случае было бы бессодержательным). Поэтому имеется ряд исследований о существовании И. м. с теми или иными интересными свойствами у динамич. систем того или иного специального типа. Наконец, возможна чисто метрич. постановка вопроса об И. м. Пусть динамич. система имеет квазиинвариантную меру m; существует ли у нее И. м. v, эквивалентная m? (Обсуждение этой постановки вопроса см. в [7]. О другой постановке см. [8]). Ответ в общем случае отрицательный, даже если требовать только s-конечности v, a [img: http://localhost:8080/file/021007-16.jpg] - Лебега пространство [9]. Известны различные варианты необходимых и достаточных условий существования конечной И. м.; наиболее удачными представляются условия Хаджана И Какутани [10], [8]. Д. В. Аносов, 2) И. м. в теории вероятностей определяется относительно переходной вероятности. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021007-17.jpg] - измеримое пространство, где Аесть s-алгебра, и Р(х, А), [img: http://localhost:8080/file/021007-18.jpg] - переходная вероятность (т. е. Р(х, Х), есть вероятностная мера на [img: http://localhost:8080/file/021007-19.jpg] при каждом [img: http://localhost:8080/file/021007-20.jpg] и Р(Х, А)- измерима относительно [img: http://localhost:8080/file/021007-21.jpg] при каждом [img: http://localhost:8080/file/021007-22.jpg]. Счетно-аддитивная мера m, на [img: http://localhost:8080/file/021007-23.jpg] наз. инвариантной относительно Р, если [img: http://localhost:8080/file/021007-24.jpg] Если Т- измеримое отображение [img: http://localhost:8080/file/021007-25.jpg] в себя, то мера m инвариантна относительно Ттогда и только тогда, когда она инвариантна относительно переходной вероятности Р(х, А) = cT(x)(A), где c у(A)=1 при [img: http://localhost:8080/file/021007-26.jpg] и c у (А) = 0 при [img: http://localhost:8080/file/021007-27.jpg]