Инвариантное интегрирование

на группе - интегрирование функций на топологич. группе, обладающее нек-рым определенным свойством инвариантности относительно групповых операций. А именно, пусть G- локально компактная топологич. группа, C0(G)- векторное пространство всех непрерывных финитных (с компактными носителями) комплексно-значных функций на G, I - интеграл на C0(G), т. е. линейный положительный [img: http://localhost:8080/file/021007-74.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021007-75.jpg] функционал на C0(G). Интеграл I наз. левоинвариантным (правоинварнантным), если I(gf)= If (соответственно I(fg) = If)для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-76.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/021007-77.jpg] Интеграл I наз. двусторонне инвариантным, если он одновременно лево- и правоинвариантен. Отображение [img: http://localhost:8080/file/021007-78.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021007-79.jpg] определяет взаимно однозначное соответствие между классами левоинвариантных и правоинвариантных интегралов в С 0 (G). Если [img: http://localhost:8080/file/021007-80.jpg] то интеграл Iназ. инверсионно инвариантным. На всякой локально компактной группе Gсуществует ненулевой левоинвариантныи интеграл, единственный с точностью до числового множителя (теорема Хаара - Неймана - Вейля). Этот интеграл наз. левым интегралом Хаара. Имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/021007-81.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021007-82.jpg] а D - непрерывный гомоморфизм группы Gв мультипликативную группу положительных действительных чисел (положительный характер). При этом [img: http://localhost:8080/file/021007-83.jpg] Характер D наз. модулем группы G. Если D(g)=l, то группа Gназ. ун и модулярной. В этом случае I является двусторонне инвариантным интегралом. В частности, унимодулярна всякая компактная группа (причем [img: http://localhost:8080/file/021007-84.jpg]) и всякая дискретная группа (причем [img: http://localhost:8080/file/021007-85.jpg]). Согласно теореме Рисе а, всякий интеграл на С 0 (G) является интегралом Лебега по нек-рой борелевской мереm, определяемой однозначно в классе регулярных борелевских мер, конечных на каждом компактном подмножестве [img: http://localhost:8080/file/021007-86.jpg] Лево- (право-) инвариантная мера m, отвечающая левому (правому) интегралу Хаара в C0(G), наз. левой (правой) Хаара мерой на G. Пусть Н- замкнутая подгруппа в G,m0- модуль группы Н. Если Д о продолжается до непрерывного положительного характера группы G, то на левом однородном пространстве X=G/H существует относительно инвариантный интеграл J, т. е. положительный функционал на пространстве С 0 (X)непрерывных финитных функций на X, удовлетворяющий тождеству [img: http://localhost:8080/file/021007-87.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-88.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/021007-89.jpg] D - модуль группы G. Этот интеграл определяется по правилу [img: http://localhost:8080/file/021007-90.jpg] где I - левый интеграл Хаара на [img: http://localhost:8080/file/021007-91.jpg] - функция на Gтакая, что [img: http://localhost:8080/file/021007-92.jpg] (I0- левый интеграл Хаара на Н, а jH- сужение функции j на подгруппу Н). Это определение корректно, поскольку [img: http://localhost:8080/file/021007-93.jpg] является отображением С 0(G)на С 0 (Х)и Jf=0 при f=0. С И. и. тесно связано понятие инвариантного среднего.