Инвариантное среднее

на группе или полугруппе G, точнее, инвариантное среднее на пространстве Xфункций на G,- непрерывный линейный функционал тна замкнутом подпространстве Xпространства В(G)всех ограниченных комплекснозначных функций на G, снабженном равномерной нормой, содержащем постоянные функции и инвариантном относительно операций комплексного сопряжения, причем ти Xудовлетворяют следующим условиям: 1) пространство Xинвариантно относительно левого сдвига, т. е. если [img: http://localhost:8080/file/021007-111.jpg] то и [img: http://localhost:8080/file/021007-112.jpg] где xf(t)=f(xt)для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-113.jpg] т - среднее на X, т. е. [img: http://localhost:8080/file/021007-114.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-115.jpg] и inf {f(x)} [img: http://localhost:8080/file/021007-116.jpg] m(f) [img: http://localhost:8080/file/021007-117.jpg] sup {f(x)} для всех действительнозначных [img: http://localhost:8080/file/021007-118.jpg] 3) m(xf)=m(f) для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-119.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/021007-120.jpg] В этом случае И. с. тназ. левоинвариантным средним; аналогично определяется правоинвариантное среднее и двустороннее И. с. на G. Если на X = B(G)существует двустороннее И. с, то группа Gназ. аменабельной. Аменабельность группы Gсвязана с существованием инвариантных мер относительно нек-рых групп преобразований, связанных с G(см. [1]). Если G- локально компактная топологич. группа, то на пространствах почти периодич. функций и слабо почти периодич. функций на Gсуществует нетривиальное левое И. с. С другой стороны, следующие условия эквивалентны: 1) существует левое И. с. на пространстве [img: http://localhost:8080/file/021007-121.jpg] 2) существует левое И. с. на пространстве X = CB(G)ограниченных непрерывных комплексных функций на G;3) существует левое И. с. на пространстве Х = UCB(G)двусторонне непрерывных ограниченных комплексных функций; 4) существует двустороннее И. с. на одном из пространств [img: http://localhost:8080/file/021007-122.jpg] СВ (G), UCB(G); 5) группа Gне имеет дополнительной серии представлений; 6) носитель регулярного представления группы Gсовпадает с дуальным пространством этой группы; 7) единичная функция на группе Gможет быть на любом компакте [img: http://localhost:8080/file/021007-123.jpg] равномерно аппроксимирована конечными линейными комбинациями матричных элементов регулярного представления группы G;8) если m - левая мера Хаара на G,v - такая ограниченная комплексная регулярная борелевская мера на G, что [img: http://localhost:8080/file/021007-124.jpg] для всех финитных непрерывных функций f на G, то 9) для нек-рого q>1, [img: http://localhost:8080/file/021007-125.jpg] любого е>0 и любого [img: http://localhost:8080/file/021007-126.jpg] компакта [img: http://localhost:8080/file/021007-127.jpg] существует неотрицательная функция [img: http://localhost:8080/file/021007-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021007-129.jpg] удовлетворяющая условию ||xj-j||<e для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-130.jpg] 10) предыдущее условие выполняется для всех q>1, [img: http://localhost:8080/file/021007-131.jpg] 11) для любого e>0 и любого компакта [img: http://localhost:8080/file/021007-132.jpg] существует такое борелевское множество [img: http://localhost:8080/file/021007-133.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021007-134.jpg] иm-1(U).m(xUDU)<e для всех [img: http://localhost:8080/file/021007-135.jpg] 12) любое непрерывное действие группы Gна компактном выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве непрерывными аффинными преобразованиями имеет неподвижную точку. Локально компактная группа, удовлетворяющая любому из равносильных условий 1) - 12), наз. аменабельной. Непрерывные образы аменабельных групп, замкнутые подгруппы аменабельных групп, расширения аменабельных групп с помощью аменабельных, индуктивные пределы аменабельных групп - аменабельны. Равномерно ограниченное представление аменабельной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению в том же пространстве. Нек-рые из перечисленных результатов могут быть распространены на случай общих топологич. групп, допускающих И. с. на пространстве ограниченных непрерывных комплексных функций. Теория И. с. и аменабельных групп имеет существенные приложения в теории динамич. систем, эргодич. теории, теории алгебр Неймана и в абстрактном гармонич. анализе.