Инволютивное распределение

- геометрическая интерпретация вполне интегрируемой дифференциальной системы на n-мерном дифференцируемом многообразии М n класса С к, [img: http://localhost:8080/file/021008-56.jpg] р-м ерным распределением (или дифференциальной системой размерности р)класса С,1 [img: http://localhost:8080/file/021008-57.jpg] r<k, на М п наз. функция, относящая каждой точке [img: http://localhost:8080/file/021008-58.jpg] р-мерное линейное подпространство D(х)касательного пространства Т х(М п), так что химеет окрестность U с р такими С-векторными полями X1,......, Х р на ней, что векторы Х 1 (у),..., Х р (у)образуют базис пространства D(у)для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/021008-59.jpg] Распределение Dназ. инволютивным, если для всех точек [img: http://localhost:8080/file/021008-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021008-61.jpg] Это же условие формулируется и в терминах дифференциальных форм. Распределение Dхарактеризуется тем, что [img: http://localhost:8080/file/021008-62.jpg] где wp+1,..., wn суть 1-формы класса С r, линейно независимые в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/021008-63.jpg] т. е. Dлокально эквивалентно системе дифференциальных уравнений wa=0. Тогда Dявляется И. р., если на Uсуществуют 1-формы [img: http://localhost:8080/file/021008-64.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/021008-65.jpg] т. е. внешние дифференциалы dwa принадлежат идеалу, порожденному формами wb. Распределение Dкласса С r на М п инволютивно Тогда и только тогда, когда оно (как дифференциальная система) есть интегрируемая система (теорема Фробениуса).