Инволюционная система

- система дифференциальных уравнений c частными производными 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/021008-66.jpg] где х=(х 1,..., х n), и=и{х 1,..., х п),р=(р 1,..., р n)=([img: http://localhost:8080/file/021008-67.jpg])., для к-рой все Якоби скобки равны нулю [img: http://localhost:8080/file/021008-68.jpg] тождественно по (х, и, р). Равенства (2) наз. условиями разрешимости. Для квазилинейных систем это определение несколько видоизменяется. Пусть все функции [img: http://localhost:8080/file/021008-69.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021008-70.jpg] не зависят от р= (р 1,..., р n). [img: http://localhost:8080/file/021008-71.jpg] Тогда этим свойством обладают и функции [img: http://localhost:8080/file/021008-72.jpg] В классе квазилинейных уравнений условие инволюционности системы определяется равенствами [img: http://localhost:8080/file/021008-73.jpg] Когда Fi не зависят от и, это определение совпадает с предыдущим. Иногда последнее определение инволюционности распространяют на все системы вида (1). Если система (1) линейна, однородна и записана в виде [img: http://localhost:8080/file/021008-74.jpg] где Pi- линейные дифференциальные операторы 1-го порядка, то ее инволюционность можно определить как условие коммутируемости PiPj=PjPi для всех [img: http://localhost:8080/file/021008-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021008-76.jpg] Всякая И. с. является полной системой. Обратно, если (1) полная система и имеет нормальную форму, т. е. [img: http://localhost:8080/file/021008-77.jpg] и Fi(x, и, p) = pi- fi(x, и, р т+1,..., р n), [img: http://localhost:8080/file/021008-78.jpg] то она инволюционна. Это позволяет привести полную систему к И. с, если [img: http://localhost:8080/file/021008-79.jpg] и ее можно разрешить неособым преобразованием относительно нек-рых тпеременных p=(p1,..., р п). Если система (1) не зависит от и, т=п, определитель [img: http://localhost:8080/file/021008-80.jpg] и pi=pi(x)разрешены из уравнений Fi(x,р)= [img: http://localhost:8080/file/021008-81.jpg] то инволюционность этой системы означает, что выражение [img: http://localhost:8080/file/021008-82.jpg] является полным дифференциалом. На этом основано применение метода Якоби [2] решения И. с, не зависящих от ии состоящих из in функционально независимых уравнений, т<п. В соответствии с этим методом исходную систему расширяют до И. с. из пуравнений с вышеуказанными свойствами. Расширение идет в несколько этапов, каждая последующая система получается из предыдущей добавлением ее независимых первых интегралов в инволюции. Этот метод допускает применение и для системы уравнений, зависящей от и(см. [3]).