Индекса формулы

- соотношения между аналитич. и топологич. инвариантами операторов нек-рого класса. Именно, И. ф. устанавливают связь между аналитич. индексом линейного оператора [img: http://localhost:8080/file/021009-43.jpg] (L0, L1- топологич. векторные пространства), определяемым формулой [img: http://localhost:8080/file/021009-44.jpg] и измеряющим таким образом "разность" между дефектными подпространствами D:его ядром Кеr D=D-1(0) и его коядром Coker D = L1/D(L0), и топологич. индексом - нек-рой топологич. характеристикой оператора Dи пространств L0, L1. Для общего эллиптического дифференциального оператора на замкнутом многообразии задача нахождения И. ф. поставлена в конце 50-х гг. 20 в. [1] и решена в 1963 (см. [2]), хотя частные виды И. ф. были известны и ранее: такова, напр., Гаусса- Бонне теорема и ее многомерные варианты. В дальнейшем был получен ряд обобщений И. ф. на объекты более сложной природы; в этих случаях вместо индекса - целого числа - могут фигурировать произвольные комплексные числа и даже функции. Элементарные формулы индекса. 1) Пусть М- дифференцируемая граница ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/021009-45.jpg] А- эллиптический псевдодифференциальный оператор, отображающий пространство [img: http://localhost:8080/file/021009-46.jpg] дифференцируемых комшгекенозначных вектор-функций на Мсо значениями в С р в себя. Пусть В(М)- многообразие касательных векторов к Мдлины [img: http://localhost:8080/file/021009-47.jpg] ориентированное посредством 2n-формы [img: http://localhost:8080/file/021009-48.jpg] где х 1,..., х п- локальные координаты. на М,x1,..., xn - соответствующие координаты в касательном пространстве, S(M)- ориентированная граница В(М), образованная единичными касательными векторами. В силу эллиптичности Аего символ аявляется невырожденной (р [img: http://localhost:8080/file/021009-49.jpg] р)-матричной функцией на S(M). Оказывается, что для индекса оператора Аимеет место формула [7]: [img: http://localhost:8080/file/021009-50.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021009-51.jpg] - внешняя степень матричной дифференциальной формы a-1da, а через Тr обозначен след (р [img: http://localhost:8080/file/021009-52.jpg] р)-матричной формы. В частности, если р<n или если А- дифференциальный оператор на нечетномерном многообразии, то ind A = 0 (для псевдодифференциального оператора последнее, вообще говоря, неверно). 2) Пусть А- эллиптический дифференциальный оператор вида (здесь a- мультииндекс) [img: http://localhost:8080/file/021009-53.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/021009-54.jpg] В 1,..., В т/2,- краевые дифференциальные операторы из [img: http://localhost:8080/file/021009-55.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/021009-56.jpg] вида [img: http://localhost:8080/file/021009-57.jpg] Набор операторов { А, В 1,..., B т/2}задает эллиптическую краевую задачу, если не вырождается на S(M)функция [img: http://localhost:8080/file/021009-58.jpg] Здесь rjk - коэффициенты полиномов [img: http://localhost:8080/file/021009-59.jpg] являющихся остатками от деления l-полиномов bj(x, l) на l-полином а +(x, l), где [img: http://localhost:8080/file/021009-60.jpg] а а + определяется из разложения а=а + а -, где [img: http://localhost:8080/file/021009-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021009-62.jpg] x, v - единичные касательный вектор и внутренняя нормаль к Мсоответственно; а + (соответственно а -)- l-полином, не имеющий нулей в верхней (соответственно, нижней) l-полуплоскости. Индексом описанной краевой задачи наз. индекс соответствующего ей линейного оператора [img: http://localhost:8080/file/021009-63.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/021009-64.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/021009-65.jpg] переводящего [img: http://localhost:8080/file/021009-66.jpg] в набор {Аи, В1u|M,..., В т/2 и|M}. Оказывается, что индекс эллиптической краевой задачи совпадает с индексом эллиптического псевдодифференциального оператора на М, символом к-рого служит матрица r=(rjk). В частности, индекс задачи Дирихле [img: http://localhost:8080/file/021009-67.jpg] равен нулю. Имеются общие И. ф. для граничных задач [16], [17]. Формулы Атьи - Зингера. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021009-68.jpg] и С°° (h).- пространства бесконечно дифференцируемых сечений векторных расслоений x и h. над дифференцируемым замкнутым n-мерным многообразием М, D- (псевдодифференциальный) эллиптич. оператор, действующий из [img: http://localhost:8080/file/021009-69.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/021009-70.jpg] Топологич. индекс it(D)оператора Dопределяется следующим образом. Вследствие эллиптичности символ s(D). оператора Dопределяет изоморфизм поднятий векторных расслоений на S(M): [img: http://localhost:8080/file/021009-71.jpg] где p: [img: http://localhost:8080/file/021009-72.jpg] - расслоение единичных сфер кокасательного расслоения Т*М многообразия М. Пусть В(М)- пространство расслоения единичных шаров в Т*М, это - 2n-мерное многообразие с краем S(M). Склейкой двух экземпляров В + (М)и В~ (М)многообразия В(М)по их общей границе получается замкнутое 2n-мерное многообразие е(М) = В +US(M)B-, над к-рым строится векторное расслоение [img: http://localhost:8080/file/021009-73.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021009-74.jpg] a s(D). использовано для отождествления x и h вдоль S(M). Это векторное расслоение V(s). несет всю топологич. информацию, нужную для определения топологич. индекса. Именно: [img: http://localhost:8080/file/021009-75.jpg] где ch V(s)- когомологический Чжэня характер расслоения V(s). [img: http://localhost:8080/file/021009-76.jpg] когомологический Тодда класс комплексифицированного кокасательного расслоения [img: http://localhost:8080/file/021009-77.jpg] и справа стоит значение 2n-мерной компоненты элемента ch [img: http://localhost:8080/file/021009-78.jpg] на фундаментальном цикле многообразия [е(М)]. Таким образом, отображение V(s(D))->it(D). определяет гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021009-79.jpg] тривиальный на образе К(М), здесь К(Х)- Гротендика группа, порожденная комплексными векторными расслоениями над X. Теорема об индексе Атьи - Зингера: [img: http://localhost:8080/file/021009-80.jpg] Формула (2) допускает ряд модификаций. Вводится следующим образом зависящий от символа a(D)рациональный класс когомологий ch [s(D)]:тройке {p*(x), p* (h), s(D)}сопоставляется различающий элемент, к-рый можно рассматривать как первое препятствие к распространению изоморфизма а на все В(М), [img: http://localhost:8080/file/021009-81.jpg] где ТМ- касательное расслоение, к-рое (с помощью римановой метрики на М)можно отождествить с Т*М, K{B/S)- относительная группа Гротендика векторных расслоений над B/S, и следовательно - характер Чжэня [img: http://localhost:8080/file/021009-82.jpg] Теперь формула для топологич. индекса Dпринимает вид: [img: http://localhost:8080/file/021009-83.jpg] где л: [img: http://localhost:8080/file/021009-84.jpg] Тома изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021009-85.jpg] позволяет записать (4) в виде [img: http://localhost:8080/file/021009-86.jpg] (в (4) и (5) справа по-прежнему, как и в (2), значения соответствующих элементов на фундаментальных циклах.) В терминах K-теории топологич. индекс выражается следующим образом. Пусть i: [img: http://localhost:8080/file/021009-87.jpg] - дифференцируемое вложение М в евклидово пространство, W- трубчатая окрестность Мв Е, к-рую можно рассматривать как действительное векторное расслоение над М, причем TW изоморфно (над R) [img: http://localhost:8080/file/021009-88.jpg] - комплексификации расслоения W, поднятой на ТМ проекцией я: [img: http://localhost:8080/file/021009-89.jpg] Композиция изоморфизма Тома [img: http://localhost:8080/file/021009-90.jpg] с естественным гомоморфизмом [img: http://localhost:8080/file/021009-91.jpg] индуцированным вложением [img: http://localhost:8080/file/021009-92.jpg] определяет гомоморфизм i!: [img: http://localhost:8080/file/021009-93.jpg] Пусть b: [img: http://localhost:8080/file/021009-94.jpg] -изоморфизм периодичности Ботта. Тогда гомоморфизм boi!,: [img: http://localhost:8080/file/021009-95.jpg] не зависит от вложения, и [img: http://localhost:8080/file/021009-96.jpg] Примеры. 3) Пусть М- замкнутое ориентированное риманово многообразие, [img: http://localhost:8080/file/021009-97.jpg] - расслоение комплексных дифференциальных k-форм над М, [img: http://localhost:8080/file/021009-98.jpg] - оператор внешнего дифференцирования и его сопряженный, соответственно. [img: http://localhost:8080/file/021009-99.jpg] Оператор где [img: http://localhost:8080/file/021009-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021009-101.jpg] эллиптичен, для него справедлива И. ф. ('6), причем топологич. индекс равен эйлеровой характеристикеc(М). (Ходжа - де Рама теорема). При dim M=2 получается теорема Гаусса - Бонне. 4) Пусть [img: http://localhost:8080/file/021009-102.jpg] - собственные [img: http://localhost:8080/file/021009-103.jpg] -пространства инволюции I(a)=ip(p-1)+k*a, [img: http://localhost:8080/file/021009-104.jpg] где * есть оператор двойственности, определяемой метрикой на М, dim M=2k. Сужение оператора d+d* до оператора из [img: http://localhost:8080/file/021009-105.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/021009-106.jpg] называемое сигнатурным оператором dM- эллиптический оператор, для него справедлива,И. ф. (3), причем аналитич. индекс равен сигнатуре многообразия М, а топологич. индекс равен L-роду (теорема Хирцебруха). 5) Пусть h - голоморфное векторное расслоение над компактным комплексным многообразием М, x0,q - расслоение дифференциальных форм типа (0, q), [img: http://localhost:8080/file/021009-107.jpg] - расслоение форм типа (0, q)с коэффициентами в h, z0,q - С-модуль гладких сечений этого расслоения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021009-108.jpg] - оператор Коши - Римана - Дольбо, [img: http://localhost:8080/file/021009-109.jpg] - его сопряженный, [img: http://localhost:8080/file/021009-110.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021009-111.jpg] Тогда оператор [img: http://localhost:8080/file/021009-112.jpg] является эллиптическим, и для него справедливо (3), причем аналитич. индекс равен эйлеровой характеристике М с коэффициентами в пучке ростков голоморфных сечений расслоения h, а топологический индекс - [img: http://localhost:8080/file/021009-113.jpg] где ch h - характер Чжэня расслоения h, [img: http://localhost:8080/file/021009-114.jpg] - класс Тодда касательного расслоения к М(теорема Римана - Роха - Хирцебруха). Эллиптические комплексы. В более общей ситуации, естественно возникающей, напр., в дифференциальной геометрии, вместо одного оператора Dрассматривается комплекс (псевдодифференциальных) операторов [img: http://localhost:8080/file/021009-115.jpg] где xj - дифференцируемые векторные расслоения над замкнутым многообразием М, Dj+1Dj = 0. Символом комплекса Аназ. соответствующая последовательность главных символов [img: http://localhost:8080/file/021009-116.jpg] где p* (xj) - поднятие расслоений xj на S(M)с помощью проекции я: [img: http://localhost:8080/file/021009-117.jpg] Комплекс Аназ. эллиптическим, если его символ является ациклическим комплексом, т. е. точен всюду вне нулевого сечения. Аналитическим индексом комплекса A наз. его эйлерова характеристика: [img: http://localhost:8080/file/021009-118.jpg] где Hi (А)- группы когомологий комплекса А. Двумя важными примерами эллиптич. комплексов являются комплекс де Рама и его комплексный аналог - комплекс Дольбо. Проблема вычисления c(А)через класс комплекса s(А)в К(ТМ)может быть сведена к вычислению индекса для однако оператора [3]. Если компактная группа Gдействует на А(и коммутирует с действием Dj, т. е. Аесть G-комплекс), то Hj (А)будут G-модулями, и c(А). определяется как элемент кольца характеров группы G. Это - функция из [img: http://localhost:8080/file/021009-119.jpg] Оказывается при этом, что теорема об индексе может рассматриваться как обобщение Лефшеца теоремы о неподвижных точках, поскольку топологич. индекс в точке [img: http://localhost:8080/file/021009-120.jpg] может быть выражен через индекс сужения символа на подмножество [img: http://localhost:8080/file/021009-121.jpg] неподвижных точек -отображения, задаваемого элементом g. Пусть G- топологическая циклическая группа, т. е. в Gсуществует элемент g, степени к-рого плотны в G, Ng- нормальное расслоение к Mg в М, и [s(A)] [img: http://localhost:8080/file/021009-122.jpg] KG(TM)- класс символа А. Пусть i*[s(A)](g). [img: http://localhost:8080/file/021009-123.jpg] К G(TMS). и [img: http://localhost:8080/file/021009-124.jpg] - ограничение на Mg его и класса, порожденного стандартным комплексом внешних степеней расслоения [img: http://localhost:8080/file/021009-125.jpg] соответственно (здесь i: [img: http://localhost:8080/file/021009-126.jpg] я: ТМ g->М g). Тогда число Лефшеца L(g, А), равное е(-1)j Tr(g|Hj(A)), задается формулой: [img: http://localhost:8080/file/021009-127.jpg] где ind: [img: http://localhost:8080/file/021009-128.jpg] _- естественное расширение топологич. индекса [img: http://localhost:8080/file/021009-129.jpg] Когомологический вариант этой формулы: [img: http://localhost:8080/file/021009-130.jpg] Без условия компактности G, но в предположении, что М g- нульмерное подмногообразие и действие Gявляется невырожденным (т. е. график gтрансверсален диагонали в М [img: http://localhost:8080/file/021009-131.jpg] М), имеет место аналогичная формула. Она может быть выражена таким образом. Если [img: http://localhost:8080/file/021009-132.jpg] то dg(P)оставляет на место ТМ| Р,a gиндуцирует в слое xj|P линейное преобразование lj(g, P), и [img: http://localhost:8080/file/021009-133.jpg] Возможно, наконец, ослабление условия эллиптичности G-комплекса Арассмотрением так наз. трансверсально эллиптических комплексов; в этом случае индекс оказывается обобщенной функцией на группе G(cm. [8]). В частности, если G- конечна, то трансверсальная эллиптичность эквивалентна эллиптичности, так что применимы прежние формулы. Если M=G/H- однородное пространство, то все комплексы операторов трансверсально эллиптичны, и здесь И. ф. по существу совпадает с Фробениуса формулой взаимности для индуцированных представлений группы G., Нефредгольмовы операторы. В этом случае также иногда удается дать другое определение аналитич. индекса и получить соответствующие И. ф. Примеры: 6) Пусть D- равномерно эллиптич. оператор на Rn с почти периодич. коэффициентами. Аналитич. индекс ia(D)вводится с помощью относительной размерности в II-факторе (см. Неймана алгебра)и является действительным числом (см. [11]). Имеет место формула, аналогичная (1), но вместо интеграла по Rn в ней используется среднее значение почти периодич. функции. 7) Пусть на многообразии Мсвободно действует дискретная группа F' и факторпространство [img: http://localhost:8080/file/021009-134.jpg] компактно; пусть x, h - векторные расслоения над Ми Г действует на них согласованно с ее действием па М. Для эллиптич. оператора D: [img: http://localhost:8080/file/021009-135.jpg] на М, перестановочного с действием Г, аналитич. индекс определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/021009-136.jpg] где Р 1, Р 2- ортогональные проекторы на Ker Dи на Кеr D* в L2(M, dm),dm - любая Г-инвариантная гладкая плотность на М, а Тг Г Р для оператора Р, перестановочного с Г и имеющего гладкое ядро Р(х, у), определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/021009-137.jpg] (здесь М 0- любая фундаментальная область группы Г на М,tr - след матрицы). Оказывается, что ia(D)) = [img: http://localhost:8080/file/021009-138.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021009-139.jpg] - оператор на [img: http://localhost:8080/file/021009-140.jpg] символ к-рого s(D). индуцирует s(D). при поднятии на Мс помощью канонической проекции p: [img: http://localhost:8080/file/021009-141.jpg] [12]. Таким образом И. ф. для оператора Dможет быть получена из И. ф. для оператора Dна компактном многообразии М. Этот результат позволяет обнаруживать нетривиальность пространств, в к-рых реализуются представления дискретных серий [13]. 8) Если коэффициенты равномерно эллиптического оператора Dна Rn образуют однородное измеримое случайное поле, то можно ввести аналитич. индекс ia(D), являющийся случайной величиной (в эргодическом случае - действительным числом), определяемой по формуле (7) с заменой Тr Г Р на ТтР, где ТrР строится по ядру Р(х, у)оператора Рчерез среднее значение по х:Тг Р=М x{tr Р(х, х)}. Этот пример - обобщение (х6) и для него имеет место [14] аналогичная И. ф. Если дано семейство эллиптических операторов, параметризованное точками укомпактного пространства Y, то определен его аналитич. индекс [img: http://localhost:8080/file/021009-142.jpg] (см. [15]). Топологич. индекс it(D)строится аналогично формуле (6) (все построения делаются "послойно" над Y). и имеет место теорема об индексе.