Индуктивный предел

- конструкция, к-рая впервые появилась в теории множеств, а затем стала широко использоваться в алгебре, топологии и других областях математики. Важный частный случай И. п.- это И. п. направленного семейства однотипных математических структур. Пусть С- направленное по возрастанию предупорядоченное множество, т. е. в Сзадано рефлексивное и транзитивное отношение [img: http://localhost:8080/file/021010-1.jpg] и для любых элементов a, [img: http://localhost:8080/file/021010-2.jpg] найдется такой элемент [img: http://localhost:8080/file/021010-3.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021010-4.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021010-5.jpg] И пусть каждому [img: http://localhost:8080/file/021010-6.jpg] сопоставлена некоторая структура А a. (для определенности можно считать, что А a.- группы) и при [img: http://localhost:8080/file/021010-7.jpg] заданы гомоморфизмы jab: [img: http://localhost:8080/file/021010-8.jpg] удовлетворяющие двум условиям: [img: http://localhost:8080/file/021010-9.jpg] для любого и [img: http://localhost:8080/file/021010-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021010-11.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/021010-12.jpg] из С. На множестве [img: http://localhost:8080/file/021010-13.jpg] вводится отношение эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/021010-14.jpg]: элемент [img: http://localhost:8080/file/021010-15.jpg] эквивалентен элементу [img: http://localhost:8080/file/021010-16.jpg], если xjag=yjbg. для некоторого у. Фактормножество [img: http://localhost:8080/file/021010-17.jpg] можно снабдить структурой группы: если [img: http://localhost:8080/file/021010-18.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021010-19.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021010-20.jpg] то произведением классов эквивалентности с представителями хи усчитается класс эквивалентности с представителем [img: http://localhost:8080/file/021010-21.jpg] Построенная группа Аназ. И. п. семейства групп А a. Для каждого [img: http://localhost:8080/file/021010-22.jpg] существует естественный гомоморфизм ja: [img: http://localhost:8080/file/021010-23.jpg] который элементу [img: http://localhost:8080/file/021010-24.jpg] сопоставляет его класс эквивалентности. Группа А, вместе с гомоморфизмами ja, обладает следующим универсальным свойством: для любой системы гомоморфизмов ya: [img: http://localhost:8080/file/021010-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021010-26.jpg] для которой [img: http://localhost:8080/file/021010-27.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021010-28.jpg] существует такой единственный гомоморфизм y: [img: http://localhost:8080/file/021010-29.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021010-30.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/021010-31.jpg] Обобщением данной конструкции И. п. является индуктивный предел (прямой предел, копредел) функтора. Объект Акатегории [img: http://localhost:8080/file/021010-32.jpg] наз. индуктивным пределом ковариантного функтора F: [img: http://localhost:8080/file/021010-33.jpg] если: 1. существуют такие морфизмы jD: [img: http://localhost:8080/file/021010-34.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021010-35.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021010-36.jpg] для любого морфизма а: [img: http://localhost:8080/file/021010-37.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/021010-38.jpg] 2. для любого семейства морфизмов yD: [img: http://localhost:8080/file/021010-39.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021010-40.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/021010-41.jpg] при любом a.: D [img: http://localhost:8080/file/021010-42.jpg] D1 из [img: http://localhost:8080/file/021010-43.jpg] существует такой единственный морфизм у: [img: http://localhost:8080/file/021010-44.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021010-45.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021010-46.jpg] И. п. обозначается [img: http://localhost:8080/file/021010-47.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021010-48.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021010-49.jpg] И. п. контравариантного функтора F: [img: http://localhost:8080/file/021010-50.jpg] определяется как индуктивный предел ковариантного функтора F* из двойственной к [img: http://localhost:8080/file/021010-51.jpg] категории D* в категорию [img: http://localhost:8080/file/021010-52.jpg] Всякое предупорядоченное множество С можно рассматривать как категорию, объектами к-рой являются элементы множества С, а морфпзмами - всевозможные пары (a, b), где а, [img: http://localhost:8080/file/021010-53.jpg] ис [img: http://localhost:8080/file/021010-54.jpg] очевидным законом композиции. В произвольной категории Псемейство объектов А a, [img: http://localhost:8080/file/021010-55.jpg]. и морфпзмов jab: [img: http://localhost:8080/file/021010-56.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021010-57.jpg] можно рассматривать как образ функтора F: [img: http://localhost:8080/file/021010-58.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/021010-59.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/021010-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021010-61.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/021010-62.jpg] - категория множеств (групп, топологич. пространств и т. п.), то И. п. функтора F:С->p совпадает с приведенной выше конструкцией индуктивного предела. Если [img: http://localhost:8080/file/021010-63.jpg] - малая дискретная категория, то И. п. любого функтора Fиз [img: http://localhost:8080/file/021010-64.jpg] в произвольную категорию [img: http://localhost:8080/file/021010-65.jpg] есть копроизведение объектов F(D), [img: http://localhost:8080/file/021010-66.jpg] В частности, если категория [img: http://localhost:8080/file/021010-67.jpg] пуста, то И. п. есть левый нуль, или инициальный объект категории [img: http://localhost:8080/file/021010-68.jpg] Коядра пар морфизмов любой категории [img: http://localhost:8080/file/021010-69.jpg] являются И. п. функторов со значениями в [img: http://localhost:8080/file/021010-70.jpg] к-рые определены на категории с двумя объектами X и Y и четырьмя морфизмами 1X, 1Y и a, b: [img: http://localhost:8080/file/021010-71.jpg] Всякий ковариантный функтор Fиз произвольной малой категории [img: http://localhost:8080/file/021010-72.jpg] в категорию [img: http://localhost:8080/file/021010-73.jpg] обладает И. п. тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021010-74.jpg] - категория с копроизведениями и коядрами пар морфизмов.