Интерполирование

интерполяция,- в простейшем, классическом смысле - конструктивное восстановление (быть может, приближенное) функции определенного' класса по известным ее значениям или значениям ее производных в данных точках. Пусть даны n+l точек [img: http://localhost:8080/file/021016-10.jpg] сегмента D=[ а, b], причем [img: http://localhost:8080/file/021016-11.jpg] и набор из n+1 чисел [img: http://localhost:8080/file/021016-12.jpg] (не обязательно различных). Пусть известно, что нек-рая функция f(x) принадлежащая тому или иному фиксированному классу Кфункций, определенных во всяком случае на D (напр., [img: http://localhost:8080/file/021016-13.jpg] где p п - множество всех алгебраич. многочленов степени [img: http://localhost:8080/file/021016-14.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021016-15.jpg] удовлетворяет системе соотношений: [img: http://localhost:8080/file/021016-16.jpg] Точки xk, в к-рых задаются значения f(xk) = yk, наз. узлами интерполяции, или полюсами интерполяции для f. Естественно возникли главным образом из потребностей приближенных вычислений следующие две задачи, к-рые и явились отправными моментами развития всей теории И. А именно, спрашивается, как, обладая перечисленными выше сведениями (А) относительно f, можно с определенной точностью получить информацию: 1) о поведении f(x)на интервалах (xk-1, xk), k=i,2,..., п, то есть между (лат. inter) полюсами xk, к=0,1,..., п, и 2) вне (лат. extra) сегмента [ х 0, xn], содержащего все полюсы [img: http://localhost:8080/file/021016-17.jpg] Упомянутые здесь лат. слова inter и extra привели соответственно к образованию терминов в случае 1) задачи интерполирования (или интерполяции) функции fи в случае 2) задачи экстраполирования (или экстраполяции) функции f, к-рые впоследствии слились в одну проблему интерполирования (А). Задача (А), понимаемая как задача точного восстановления функции, имеет единственное решение, напр, в классе К=p п. Ее решением в p п является интерполяционный многочлен Лагранжа [img: http://localhost:8080/file/021016-18.jpg] Однако, если f(x)принадлежит классу, в каком-то смысле "более обширному", чем p п, то интерполяционная задача (А), вообще говоря, не имеет единственного решения. Тем не менее многочлен [img: http://localhost:8080/file/021016-19.jpg] в нек-рой мере позволяет судить о поведении f(x) на Д, если считать, что [img: http://localhost:8080/file/021016-20.jpg] В связи с этим возникает потребность в оценке погрешности [img: http://localhost:8080/file/021016-21.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/021016-22.jpg] к-рая во многом зависит от того, какому классу функций Кпринадлежит f(x), другими словами, Rfn(x). зависит от наперед известных свойств, к-рыми обладает f(x). Напр., если К=С п+1(D), то для задачи (А) остаточный член имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021016-23.jpg] где a<x<b a [img: http://localhost:8080/file/021016-24.jpg] Здесь через a и b обозначены соответственно наименьшее и наибольшее из чисел х 0, х п и х. Приведенная формула остаточного члена принадлежит О. Коши (A. Cauchy, см. [3]). Величина [img: http://localhost:8080/file/021016-25.jpg] во многом зависит от характера распределения и числа узлов интерполяции [img: http://localhost:8080/file/021016-26.jpg] на А. При этом естественно предположить, что чем больше узлов интерполяции х k будет взято и чем "равномерней" они будут расположены на Д, тем "точнее" будет выполняться соотношение (1). Эти соображения в свою очередь приводят к еще более важной интерполяционной задаче, тесно примыкающей к проблеме (А). Пусть f(x)принадлежит классу функций К, определенных на Д, и таких, что [img: http://localhost:8080/file/021016-27.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021016-28.jpg] п-0,1,... Предположим, что множество узлов интерполяции [img: http://localhost:8080/file/021016-29.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021016-30.jpg] счетно, и задана последовательность чисел [img: http://localhost:8080/file/021016-31.jpg] Спрашивается, как по имеющимся данным [img: http://localhost:8080/file/021016-32.jpg] восстановить f(x)? Поставленная задача в общем случае далеко не всегда разрешима и требует ряда уточнений, но это будет сделано несколько позже, а сейчас укажем только абрис одного весьма естественного и важного подхода к решепию проблемы (Б). Обычно вначале решается "усеченная" задача (А): [img: http://localhost:8080/file/021016-33.jpg] в классе pn. Пусть Lnf(x)- интерполяционный полином, являющийся решением этой усеченной задачи и записанный, например, в виде многочлена Лагранжа. Затем рассматривается возможность осуществления в том или ином смысле предельного перехода [img: http://localhost:8080/file/021016-34.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021016-35.jpg] (что равносильно, в частности, исследованию вопроса о стремлении к нулю остаточного члена Rnf(x)при [img: http://localhost:8080/file/021016-36.jpg] в рассматриваемом смысле). Приведенный эскиз схемы решения задачи (Б) лежит в основе теории сходимости (и расходимости) интерполяционных процессов;он является одним из основных методов решения задач интерполирования и имеет приложения не только в различных разделах чистой математики (напр., в теории чисел, см. [3]), но и в методах вычислений (см. Интерполирование в вычислительной математике, а также [1]). В последующем, наряду с интерполяционными задачами рассмотренного здесь вида, определяемыми простейшими функционалами f(xk), стали исследоваться и другие, в к-рых, напр., задаются значения производных f(m)(xk),m=0, 1,..., п k, или иные более сложные функционалы. При их решении стали применяться интерполяционные процессы, в к-рых в роли отправного интерполирующего класса вместо класса pn используются другие множества функций, напр, классы Т п тригонометрич. полиномов степени [img: http://localhost:8080/file/021016-37.jpg] классы рациональных функций nmtn=pm/qn, где [img: http://localhost:8080/file/021016-38.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/021016-39.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021016-40.jpg] классы целых функций специального вида и т. д. См. также интерполяционная формула. Проблема И. в своей общей постановке заключается в следующем. Пусть Xи Y- два непустых множества; задано семейство отображений [img: http://localhost:8080/file/021016-41.jpg] fa: [img: http://localhost:8080/file/021016-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021016-43.jpg] Если {у a}, [img: http://localhost:8080/file/021016-44.jpg] - некоторый заданный набор элементов (не обязательно различных) множества У, то естественно возникает задача об отыскании множества всех [img: http://localhost:8080/file/021016-45.jpg] удовлетворяющих следующей системе равенств [img: http://localhost:8080/file/021016-46.jpg] Вообще говоря, не для всякого априори заданного набора элементов {ya}, [img: http://localhost:8080/file/021016-47.jpg] задача (В) обязана иметь решения х, [img: http://localhost:8080/file/021016-48.jpg] Поэтому сформулированная проблема требует ряда уточнений своей постановки. Эти уточнения состоят в следующем. I. Выяснить, каково множество Е=Е{Х; fa). всех наборов {fa}, [img: http://localhost:8080/file/021016-49.jpg] для к-рых система уравнений (В) (быть может, бесконечная) имеет хотя бы одно решение х, [img: http://localhost:8080/file/021016-50.jpg] Другими словами, требуется дать конструктивное описание множества Евсех допустимых наборов {уa}, [img: http://localhost:8080/file/021016-51.jpg] для заданного фиксированного семейства отображений {fa}, [img: http://localhost:8080/file/021016-52.jpg] для к-рых система (В) непротиворечива в X. II. Пусть {ya}, [img: http://localhost:8080/file/021016-53.jpg] - фиксированный допустимый набор элементов из Y.(т. е. принадлежащий множеству E из пункта I) задачи (В); требуется найти множество всех решений х, [img: http://localhost:8080/file/021016-54.jpg], системы (В). При решении задач I и II особое значение имеют ответы на следующие вопросы более частного характера. III. Каково подмножество X1, [img: http://localhost:8080/file/021016-55.jpg] на к-ром система уравнений (В) имеет единственное решение х. [img: http://localhost:8080/file/021016-56.jpg] для каждого допустимого для Х 1 набора {уa}, [img: http://localhost:8080/file/021016-57.jpg] {fa, X1}? IV. Пусть Е 1 - некоторое подмножество Е, определяемое обычно заданием лишь некоего ограничительного свойства. Требуется дать конструктивную характеристику множества решений х, [img: http://localhost:8080/file/021016-58.jpg] системы (В) при условии, что правые части в (В) "пробегают" все Е 1. Задание множества X, Y и семейства отображений {fa}, [img: http://localhost:8080/file/021016-59.jpg] (fa: [img: http://localhost:8080/file/021016-60.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021016-61.jpg]) в совокупности с сформулированными вопросами I и II. (и обычно присоединяемым к ним III, а иногда и IV) определяют интерполяционную задачу (В). Класс задач описанного вида иногда наз. классом прямых задач интерполирования. Каждый в отдельности из перечисленных выше пунктов I, II, III и IV представляет и сам по себе научный интерес. Пункт I имеет "пограничный характер": им занимаются теория чисел, функциональный анализ, теория функций и др. Пусть, напр., хявляется действительным числом, [img: http://localhost:8080/file/021016-62.jpg] и {х}- его дробная часть. Семейство отображений /Д: [img: http://localhost:8080/file/021016-63.jpg] задается следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021016-64.jpg] Y=[0,1), fn(x)={xn}, n= 1, 2,..., и рассматривается следующая конкретизация интерполяционной задачи (В): [img: http://localhost:8080/file/021016-65.jpg] Для нек-рых подмножеств X, [img: http://localhost:8080/file/021016-66.jpg] пункт I задачи (2) в какой-то мере исследован, но в целом проблема (2) трудна: до сих пор (1978), напр., нет ответа на вопрос о распределении дробных долей {е п} степени числа е, что является весьма частным подвопросом пункта I задачи (2). Связь между вопросом I и проблемами базисности системы элементов в различных функциональных пространствах отмечались, напр., в [9]. Вопрос II самый старый в теории И., он лежит у истоков всей теории И. и связан с именами И. Ньютона (I. Newton), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), H. Абеля (N. Abel), III. Эрмита (Ch. Hermite) и др. До 20 в. задачи I, II и IV почти не рассматривались, а решение задачи II, как правило, носило формальный характер. Пункт III тесно примыкает к пункту II, но представляет интерес еще и потому, что во многих задачах он эквивалентен проблеме полноты, а иногда и базисности различных систем элементов {fa}, [img: http://localhost:8080/file/021016-67.jpg] в соответствующих функциональных пространствах (полнота обычно устанавливается с помощью критерия С. Банаха (S. Banach), в к-ром доказана эквивалентность проблемы полноты нек-рой задаче единственности). Важным примером исследований, относящихся к пункту IV, являются задачи, посвященные изучению классов функций, принимающих целые значения на заданном множестве точек (напр., F(n)или F(qn), n= 0, 1, 2,..., являются целыми числами). Эта область особенно бурно развивалась после получения Д. Пойа (G. Polya) следующего результата: если целая функция F(z)экспоненциального типа s, s<ln 2, такова, что ее значения F(n), [img: http://localhost:8080/file/021016-68.jpg] n=0,1,2,..., являются целыми числами, то F(z)- полином. Константа 1п2 в приведенной теореме точная, ибо функция F(z) = 2z=ezln 2 является целой экспоненциального типа s=ln 2, отлична от многочлена и принимает в точках п = 0, 1, 2,... целые значения (см., напр., [5], [10]). В том случае, когда в задаче (В) множество X является топологич. пространством и редуцированная в каком-то смысле задача (В) имеет сравнительно простое решение х*, одним из методов ее решения является интерполяционный процесс, при котором исследуется сходимость решений х* к решению хсистемы (В). О частном виде подобного рода процессов упоминалось выше. Однако во многих случаях задачи типа (В) эффективно решаются функциональными методами (см., напр., [10]). Помимо прямых интерполяционных проблем определенный интерес представляют обратные задачи интерполирования. Основное содержание исследований в этом направлении состоит в следующем. Заданы непустые множества Хи Y и нек-рый класс Fсемейств отображений {{fa}, [img: http://localhost:8080/file/021016-69.jpg] }, действующих из X в Y. Пусть М= {{ya}, [img: http://localhost:8080/file/021016-70.jpg] } - некоторая совокупность наборов {fa} элементов из множества У. Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, к-рым должен удовлетворять подкласс FM, [img: http://localhost:8080/file/021016-71.jpg] для того, чтобы существовало семейство [img: http://localhost:8080/file/021016-72.jpg] обладающее следующим свойством: множество [img: http://localhost:8080/file/021016-73.jpg] совпадает с М(или [img: http://localhost:8080/file/021016-74.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021016-75.jpg]), когда переменная хпробегает всю совокупность значений X. Выбор Fи Мтесно между собой связан. Поэтому в исследованиях, относящихся к разделу обратных задач И., обычно пара (F, М)естественным образом составляет единое целое. В качестве примера обратной задачи описанного здесь вида возьмем одну из формулировок из круга вопросов, примыкающих к известной интерполяционной проблеме Неванлинны - Пика. Пусть {zk} - последовательность точек открытого единичного круга |z|<1 комплексной плоскости С. Каждой функции x(z)из класса [img: http://localhost:8080/file/021016-76.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/021016-77.jpg] - класс функций, аналитических и ограниченных в круге |z|<1) ставится в соответствие последовательность ее значений в точках zk: [img: http://localhost:8080/file/021016-78.jpg] Таким образом, задан нек-рый вид Fотображений Х=H°° в Y= С. Пусть в качестве Мберется пространство l°° (множество всех ограниченных последовательностей комплексных чисел c=(c1, с 2,...) с нормой В рассматриваемом случае обратная задача [img: http://localhost:8080/file/021016-79.jpg] конкретизируется следующим образом: требуется дать описание множества всех последовательностей точек {zk} единичного круга |z|<l (т. е. класса [img: http://localhost:8080/file/021016-80.jpg] отображений специального вида fk(x) = x(zk)), обладающих следующим свойством: оператор S(х)отображает все [img: http://localhost:8080/file/021016-81.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021016-82.jpg] Последовательности {zk}, обладающие указанными качествами, наз. интерполяционными. Таким образом, множество всех интерполяционных последовательностей {zk} и определяет в данной ситуации класс [img: http://localhost:8080/file/021016-83.jpg] Ответ на поставленный вопрос дает теорема Карлесона: для того чтобы последовательность точек {zk} открытого единичного круга |z|<1 была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы существовало б>0 такое, что [img: http://localhost:8080/file/021016-84.jpg] (так наз. условие разделения). Обратные задачи И., типа решенной Л. Карлесоном (L. Carleson), рассматривались и для других классов функций и соответствующих пространств числовых последовательностей (см., напр., [9]; [12], [13], [14]). См. также Абеля- Гончарова проблема.