Интерполирование операторов

- получение из известных свойств оператора в двух или нескольких пространствах выводов о свойствах этого оператора в нек-рых в определенном смысле промежуточных пространствах. Банаховой парой A, В наз. два банаховых пространства, алгебраически и непрерывно вложенные в отделимое линейное топологич. пространство [img: http://localhost:8080/file/021017-15.jpg] На пересечении AЗ B вводится норма [img: http://localhost:8080/file/021017-16.jpg] на арифметич. сумме А+В- норма [img: http://localhost:8080/file/021017-17.jpg] Пространства [img: http://localhost:8080/file/021017-18.jpg] и А+В банаховы. Банахово пространство Еназ. промежуточным для пары А, В, если [img: http://localhost:8080/file/021017-19.jpg] Линейное отображение Т, действующее из A+B в C+D, наз. ограниченным оператором из пары А, В в пару С, D, если его сужение на А(соответственно В)является ограниченным оператором из А(соответственно В) в С (соответственно D). Тройка пространств {А, В, Е} наз. интерполяционнойотносительно тройки {С, D, F}, [img: http://localhost:8080/file/021017-20.jpg]. пространство Е(соответственно F)- промежуточное для пары А, В (соответственно С, D), если всякий ограниченный оператор из пары А, В в пару С, D отображает Ев F. Если А = С, B=D и E=F, то пространство Еназ. интерполяционным между Аи В. Для интерполяционных троек существует константа с такая, что [img: http://localhost:8080/file/021017-21.jpg] Первая интерполяционная теорема получена М. Риссом (М. Riesz, 1926): тройка пространств {Lp0, Lp1, Lp)является интерполяционной относительно тройки {Lq0,Lq1, Lq}, если [img: http://localhost:8080/file/021017-22.jpg] р 1, q0, и [img: http://localhost:8080/file/021017-23.jpg] при нек-ром qО(0, 1) [img: http://localhost:8080/file/021017-24.jpg] Мера, по к-рой строятся перечисленные пространства, может быть своей для каждой тройки. Аналог этой теоремы может не быть справедливым для других классич. семейств пространств; напр., пространство С 1(0, 1) не является интерполяционным между С (0, 1) и С 2(0, 1). Интерполяционным функтором Fназ. функтор, ставящий в соответствие каждой банаховой паре А, В промежуточное пространство F(A, В), причем для любых двух банаховых пар А, В и С, D тройки {А, B, F(A, В)}и {С, D, F(C, D))являются друг относительно друга интерполяционными. Имеется ряд методов построения интерполяционных функторов. Наибольшее число приложений нашли два из них. К-м етод Петре. Для банаховой пары А, Встроится функционал [img: http://localhost:8080/file/021017-25.jpg] эквивалентный при каждом tнорме в A+В. Банахово пространство Gизмеримых на полуоси функций наз. идеальным пространством, если из того, что [img: http://localhost:8080/file/021017-26.jpg] почти всюду на [img: http://localhost:8080/file/021017-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021017-28.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021017-29.jpg] вытекает и [img: http://localhost:8080/file/021017-30.jpg]. Рассматриваются все элементы хиз А+В, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/021017-31.jpg] Они образуют банахово пространство [img: http://localhost:8080/file/021017-32.jpg] относительно нормы [img: http://localhost:8080/file/021017-33.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/021017-34.jpg] будет ненулевым и промежуточным для А, Вв том и только в том случае, когда функция min {t, 1} принадлежит G. В этом случае функтор [img: http://localhost:8080/file/021017-35.jpg] будет интерполяционным. Для нек-рых банаховых пар функционал K(t, х)вычисляется, и это позволяет эффективно строить интерполяционные пространства. Для пары L1 и [img: http://localhost:8080/file/021017-36.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021017-37.jpg] где х* (т)- равноизмеримая с функцией хневозрастающая непрерывная справа функция на [img: http://localhost:8080/file/021017-38.jpg] Для пары С и С 1 [img: http://localhost:8080/file/021017-39.jpg] где со (t, x)- модуль непрерывности функции х, а знак [img: http://localhost:8080/file/021017-40.jpg] означает переход к наименьшей выпуклой мажоранте функции на [img: http://localhost:8080/file/021017-41.jpg] Для пары [img: http://localhost:8080/file/021017-42.jpg] (Соболева пространство) [img: http://localhost:8080/file/021017-43.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021017-44.jpg] За пространство Gчасто принимается пространство с нормой [img: http://localhost:8080/file/021017-45.jpg] Соответствующий функтор обозначается [img: http://localhost:8080/file/021017-46.jpg] р. Важную роль в теории уравнений с частными производными играют пространства Бесова где m=ql. Ряд классич. [img: http://localhost:8080/file/021017-47.jpg] неравенств анализа уточняется в терминах пространств Лоренца [img: http://localhost:8080/file/021017-48.jpg] Комплексный метод Кальдерона- Лионса. Для банаховой пары А, Вчерез Ф (А, В)обозначается пространство, состоящее из всех функций cp(z), определенных в полосе П: [img: http://localhost:8080/file/021017-49.jpg] комплексной плоскости, со значениями в пространстве А+В, обладающих свойствами: 1) j(z) непрерывна и ограничена по норме А+В в П, 2) j(z) аналитична относительно нормы в А+В внутри П, 3) j(it) непрерывна и ограничена по норме А,4) j(1 + it) непрерывна и ограничена по норме В. Пространство [ А, В]a, [img: http://localhost:8080/file/021017-50.jpg] определяется как совокупность всех элементов [img: http://localhost:8080/file/021017-51.jpg] представимых в виде х=j(a) при [img: http://localhost:8080/file/021017-52.jpg] В нем вводится норма [img: http://localhost:8080/file/021017-53.jpg] Таким образом строится интерполяционный функтор [ А, В]a. Если А = L р0 и B = Lp1, [img: http://localhost:8080/file/021017-54.jpg] то [Lp0, LP1]a =Lp, где 1/р=(1- a)/p0+a/p1. Если G0 и G1- два идеальных пространства, и хотя бы в одном из них норма абсолютно непрерывна, то пространство [G0, G1]a состоит из всех функций x(t), для к-рых |x(t)|=|x0(t)|1-a|x1(t)|a при нек-рых [img: http://localhost:8080/file/021017-55.jpg] Если для двух комплексных гильбертовых пространств Н 0 и Н 1 имеется вложение [img: http://localhost:8080/file/021017-56.jpg] то пространства [img: http://localhost:8080/file/021017-57.jpg] образуют важное для приложений семейство пространств, наз. гильбертовой шкалой. Если H0=L2 и H1= [img: http://localhost:8080/file/021017-58.jpg] то[H0, H1] а= [img: http://localhost:8080/file/021017-59.jpg] (пространство Соболева с дробными индексами). О других методах построения интерполяционных функторов, а также об их связях с теорией шкал банаховых пространств см. [1], [3], [5], [8]. Особую роль в теории И. о. играет направление, связанное с интерполяционной теоремой Марцинкевича об операторах слабого типа: оператор Т, действующий из банахова пространства Ав пространство всех измеримых функций, напр., на полуоси, наз. оператором слабого типа (А, y), если [img: http://localhost:8080/file/021017-60.jpg] При этом предполагается, что функции y(t) и t/y(t) не убывают (напр., y(t)=ta, [img: http://localhost:8080/file/021017-61.jpg]). Теоремы типа теоремы Марцинкевича позволяют для операторов Тслабых типов (A0, y0). и (A0, y1) одновременно (A0, A1 - банахова пара) описывать пары пространств А, Е, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/021017-62.jpg] Во многих случаях достаточно проверить, что из Ав Едействует оператор [img: http://localhost:8080/file/021017-63.jpg] где K(t, x)- функционал Петре для пространств A0, А 1. Если действие из Ав Епоказано для всех линейных операторов слабых типов (Ai, yi), то оно будет иметь место и для квазиаддитивных операторов (со свойством |T(x+y)(t)| [img: http://localhost:8080/file/021017-64.jpg] b(|Tx(t)|+|Ty(t)|). слабых типов (А i, yi), i =0,1. Многие важные операторы анализа (напр., сингулярный оператор Гильберта) имеют слабый тип в естественных пространствах и поэтому соответствующие интерполяционные теоремы получили многочисленные применения.