Интерполяционный процесс

- процесс получения последовательности интерполирующих функций {fn(z)} при неограниченном возрастании числа n условий интерполирования. Если интерполирующие функции fn(z)представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда наз. интерполяционным рядом. Целью построения И. п. чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком-то смысле посредством интерполирующих функций fn(z)исходной функции f (z), о к-рой или имеется неполная информация или форма к-рой слишком сложна для непосредственного использования. Довольно общая ситуация, связанная с построением И. п., описывается следующим образом. Пусть (a/ft), [img: http://localhost:8080/file/021017-80.jpg] j=0, 1,...- бесконечная треугольная таблица произвольно заданных комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/021017-81.jpg] наз. узлами интерполяции. Пусть, наряду с таблицей (1), имеется таблица аналогичного вида (wjk), [img: http://localhost:8080/file/021017-82.jpg] j=0, 1,..., также составленная из произвольно заданных комплексных чисел wjk. Если в п-и строке а nk, k = 0,1,..., п, таблицы узлов (1) нет совпадающих чисел, или, как еще говорят, вся эта строка состоит из простых узлов, то, пользуясь, напр., Лагранжа интерполяционной формулой, строится (единственный) алгебраический интерполяционный многочлен р п(z) степени ве выше п, удовлетворяющий простым условиям интерполяции [img: http://localhost:8080/file/021017-83.jpg] Если же точка а п0 является кратным узлом кратности v0>l в п-в. строке, т. е. встречается в этой строке v0 раз: an0=ank1=...= ankv0_1, то соответствующие условия кратного интерполирования в узле а n0 имеют вид [img: http://localhost:8080/file/021017-84.jpg] В общем случае при наличии кратных узлов (единственный) алгебраический интерполяционный многочлен pn(z)степени не выше пстроится по этим условиям, напр., по Эрмита интерполяционной формуле. В качестве примера системы узлов (1) можно привести систему j+1, j=0, 1,..., равноотстоящих узлов а jk=e2pik/(j+1) на единичной окружности, применяемую в случае так наз. интерполяции в корнях из единицы (см. [5]). В результате осуществляемого таким путем И. п. получается последовательность интерполяционных многочленов {pn(z)}, определяемая таблицами (ajk) и (wjk). Основными вопросами, здесь возникающими, являются: определить в зависимости от (ajk) и (wjk)множество EМ C точек сходимости последовательности {pn(z)}, в к-рых существует предел [img: http://localhost:8080/file/021017-85.jpg] определить характер предельной функции g(z); определить множество FМ E, на к-ром сходимость pn(z) [img: http://localhost:8080/file/021017-86.jpg] q(z). равномерная; и т. д. В теории функций комплексного переменного наиболее изучен случай, когда таблица (wjk) строится по. значениям регулярной аналитич. функции f(z) и ее производных в узлах интерполяции так, что (применительно к узлу а п0 кратности [img: http://localhost:8080/file/021017-87.jpg] ср. (3)) [img: http://localhost:8080/file/021017-88.jpg] В этом случае интерполяционный многочлен р п(r)можно записать по формуле Эрмита в виде интеграла по контуру Г, охватывающему узлы ank, k = 0, 1,..., п, на к-ром и внутри к-рого f(z)регулярна: [img: http://localhost:8080/file/021017-89.jpg] Из формулы (4) легко получается и интегральное представление остаточного члена интерполяции Rn(z)=f(z)-pn(z). Вообще говоря, последовательность {pn(z)}, построенная по f(z), может расходиться. Если же она сходится, то предельная функция q(z)может не совпадать с f(z). Основным вопросом является изучение сходимости {pn(z)}к f(z) и нахождение таких систем узлов (ajk), для к-рых сходимость в каком-то смысле оптимальная. Пусть, напр., функция f(z) регулярна на континууме [img: http://localhost:8080/file/021017-90.jpg] содержащем не менее двух точек, дополнение к-рого до расширенной плоскости [img: http://localhost:8080/file/021017-91.jpg] есть односвязная область, содержащая бесконечно удаленную точку. Пусть узлы (a/ft) принадлежат К. Тогда для того, чтобы И. п. {pn(z)}равномерно сходился на Кк f(z), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие [img: http://localhost:8080/file/021017-92.jpg] где Mn=sup {|wn(z)|; [img: http://localhost:8080/file/021017-93.jpg] }, с - емкость множества К (см. [4]). Классический вариант И. п. получается, когда узлы ajk=ak. [img: http://localhost:8080/file/021017-94.jpg] j=0, 1,..., составляют последовательность {ak}, из к-рой на n-м шаге для получения многочлена р n(z) используются первые n+1 узлов а 0, а 1,..., а п. В этом случае для регулярной функции f(z)многочлены р n(z) суть частные суммы интерполяционного ряда Ньютона [img: http://localhost:8080/file/021017-95.jpg] При вычислениях интерполяционный ряд вида (5) имеет то преимущество перед последовательностью {р n(z)}, что для перехода от уже известного многочлена pn(z)к pn+1(z). необходимо вычислить только один коэффициент ряда с n+1. В зависимости от расположения узлов ak и значений коэффициентов с k, областью сходимости ряда Ньютона может быть любая односвязная область плоскости С с аналитич. раницей. В частности, напр., если последовательность узлов {ak} имеет предельную точку только в бесконечности, [img: http://localhost:8080/file/021017-96.jpg] и ряд (5) сходится хотя бы в одной точке [img: http://localhost:8080/file/021017-97.jpg] k=0, 1,..., то он сходится равномерно в любом круге [img: http://localhost:8080/file/021017-98.jpg] и, следовательно, его сумма q(z)есть целая функция. Интерполяционный ряд Стирлинга есть частный случай ряда Ньютона для последовательности узлов a0 = 0, а 1=-1, а 2 = 1,..., a2k-1=-k,a2k= k,... Исследованы и другие разновидности интерполяционных рядов (см. [3], [5]). Объектами изучения являются также И. п. с неалгебраическими интерполяционными полиномами pn(z) = [img: http://localhost:8080/file/021017-99.jpg] составленными по другим системам функций {jv(z)}, отличным от системы степеней {zv}, напр., по системе {eavz} (см. [4], [6]). Изучение И. п. в действительной области имеет свою специфику как в постановке задач, так и в результатах (см. [2], [4]). Эта специфика обусловлена прежде всего естественным в действительной области отказом от требования регулярности интерполируемой функции f(x). Известно, напр., что никакая система узлов на отрезке [а, b]не гарантирует сходимости И. п. для произвольной непрерывной функции f(x), [img: http://localhost:8080/file/021017-100.jpg] С другой стороны, если непрерывная функция f(х)наперед задана, то всегда можно выбрать систему узлов так, чтобы И. п. сходился к f(x). Кроме И. п. с интерполяционными полиномами pn(z)внимание исследователей привлекают И. п. с рациональными функциями rn(z), напр, вида rn(z)= qn(z)/wn_1(z), где wn_1(z)=(z-b0)...(z-bn-1) и qn(z)- многочлен степени не выше п. Условия интерполяции (1) - (3) остаются в силе, но теперь должно быть добавлено условие на полюсы bk, k=0,1,..., к-рые в простейшем случае задаются в виде треугольной таблицы (bjk), [img: http://localhost:8080/file/021017-101.jpg] j=0, 1,..., аналогичной (1). См. также Абеля- Гончарова проблема, Бернштейна интерполяционный процесс.