Инъективный модуль

- инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R-модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R-модулей М, N, для любого мономорфизма i: [img: http://localhost:8080/file/021020-59.jpg] и для любого гомоморфизма f: [img: http://localhost:8080/file/021020-60.jpg] найдется такой гомоморфизм g: [img: http://localhost:8080/file/021020-61.jpg] что диаграмма коммутативна (все R-модули предполагаются правыми). Следующие условия на R-модуль Еравносильны его инъективности: 1) для любой точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/021020-62.jpg] индуцированная последовательность [img: http://localhost:8080/file/021020-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021020-64.jpg] точна; 2) любая точная последовательность R-модулей, имеющая вид [img: http://localhost:8080/file/021020-65.jpg] расщепляется, т. е. подмодуль Im a=Кеr (5 выделяется в Мпрямым слагаемом; 3) [img: http://localhost:8080/file/021020-66.jpg] для всех R-модулей С; 4) для сякого правого идеала I кольца R любой гомоморфизм R-модулей f: [img: http://localhost:8080/file/021020-67.jpg] может быть продолжен до гомоморфизма R-модулей g: [img: http://localhost:8080/file/021020-68.jpg] (критерий Бэра). В категории R-модулей "достаточно много" инъективных объектов: каждый R-модуль Мможно вложить в И. м. Более того, каждый модуль Мсодержится в своей инъективной оболочке Е(М), то есть в И. м. Е(М), каждый ненулевой подмодуль к-рого имеет ненулевое пересечение с М. Любое вложение модуля Мв И. м. Епродолжается до вложения инъективной оболочки Е(М)в Е. Каждый R-модуль Мобладает инъективной резольвентой [img: http://localhost:8080/file/021020-69.jpg] т. е. точной последовательностью модулей, в к-рой все модули Ei, [img: http://localhost:8080/file/021020-70.jpg]. инъективны. Длина самой короткой инъективной резольвенты наз. инъективной размерностью модуля (см. также Гомологическая размерность). Прямое произведение И. м. есть И. м. Инъективный модуль Еравен Е r для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/021020-71.jpg] не являющегося левым делителем нуля в R, т. е. И. м.- делимый модуль. В частности, абелева группа является И. И. м. широко используются при описании различных классов колец (см. Гомологическая классификация колец). Так, все модули над кольцом инъективны тогда и только тогда, когда кольцо классически полупросто. Равносильны условия: R - нётерово справа кольцо; любая прямая сумма инъективных R-модулей инъективна; любой инъективный R-модуль разлагается в прямую сумму неразложимых R-модулей. Артиновость справа кольца R равносильна тому, что каждый И. м. является прямой суммой инъективных оболочек простых модулей. Наследственность справа кольца равносильна инъективности всех фактормодулей инъективных R-модулей, а также тому, что сумма двух инъективных подмодулей в произвольном R-модуле инъективна. Если кольцо R наследственно справа и нётерово справа, то каждый R-модуль содержит наибольший инъективный подмодуль. Проективность (инъективность) всех инъективных (проективных) R-модулей эквивалентна тому, что R является квазифробениусовым кольцом. Инъективная оболочка модуля RR играет важную роль в теории колец частных. Напр., если правый сингулярный идеал кольца Л равен нулю, Е- инъективная оболочка модуля RR, [img: http://localhost:8080/file/021020-72.jpg] - ее кольцо эндоморфизмов, то R-модули [img: http://localhost:8080/file/021020-73.jpg] и ER изоморфны, Еявляется кольцом, изоморфным кольцу L, и это кольцо оказывается максимальным правым кольцом частных кольца R, причем [img: http://localhost:8080/file/021020-74.jpg] - самоинъективное справа регулярное (в смысле Неймана) кольцо. В связи с различными задачами продолжения гомоморфизмов модулей рассматриваются классы модулей М, близких к инъективным: квазиинъективные (если [img: http://localhost:8080/file/021020-75.jpg] и f: [img: http://localhost:8080/file/021020-76.jpg] то f продолжается до эндоморфизма модуля М);псевдоинъективные (если [img: http://localhost:8080/file/021020-77.jpg] f: [img: http://localhost:8080/file/021020-78.jpg] и f - мономорфизм, то f продолжается до эндоморфизма модуля М);малоинъективные (все эндоморфизмы подмодулей продолжаются до эндоморфизмов модуля М). Квазиинъективность модуля Мравносильна инвариантности модуля Мв своей инъективной оболочке относительно ее эндоморфизмов.