Исключения теория

- теория исключения неизвестных из системы алгебраич. уравнений. Более точно, пусть имеется система уравнений [img: http://localhost:8080/file/021021-59.jpg] где fi - многочлены с коэффициентами из заданного поля Р. Задача исключения неизвестных х 1,..., х k из системы (1) (неоднородная задача теории исключения) может быть сформулирована следующим образом: найти проекцию множества решений системы (1) на пространство координат х k+1,..., х п. В том случае, когда каждое из уравнений однородно по совокупности неизвестных х 1,..., х k, рассматривается также однородная задача теории исключения (неоднородная задача в этом случае тривиальна): найти проекцию на пространство координат х k+1,..., х п множества тех решений системы (1), в к-рых не все неизвестные x1,..., xk равны нулю. Неоднородная задача И. т. может также трактоваться как нахождение условий на коэффициенты системы алгебраич. уравнений, при к-рых эта система совместна, а однородная задача' И. т.- как нахождение условий на коэффициенты, системы однородных алгебраич. уравнений, при к-рых эта система имеет ненулевое решение. Основные результаты И. т. заключаются в том, что если поле Ралгебраически замкнуто, то решение однородной задачи И. т. является алгебраическим множеством, т. е. множеством решений системы алгебраич. уравнений, а решение неоднородной задачи - конструктивным множеством в смысле алгебраич. геометрии, т. е. конечным объединением множеств вида [img: http://localhost:8080/file/021021-60.jpg] где Ми Nсуть алгебраич. множества. В нек-рых простейших случаях решение задач И. т. известно в явном виде. 1) Пусть рассматриваемая система уравнений линейна и однородна относительно х 1,..., х k, т. е. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021021-61.jpg] где а ij- многочлены от xk+1,..., х п. При заданных значениях х k+1,..., х п система (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А= (я/у) меньше к(см. Линейное уравнение). Решением однородной задачи И. т. в этом случае будет множество в пространстве координат Xk+1,..., х п, выделяемое условиями равенства нулю всех миноров порядка кматрицы А. 2) Пусть рассматриваемая система уравнений линейна относительно х 1,..., х k, т. е. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021021-62.jpg] где aij, bi - многочлены от х k+1,..., х п. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021021-63.jpg] - матрица, получаемая приписыванием к матрице А=(aij)столбца (bi). При заданных значениях х k+1,..., х п система (3) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы Аравен рангу матрицы А. Следовательно, результатом исключения x1,..., х п из системы (3) является [img: http://localhost:8080/file/021021-64.jpg] где Mr- множество точек (xk+1,..., х п), в к-рых [img: http://localhost:8080/file/021021-65.jpg] а Nr- множество точек, в к-рых rkА<r (множества Mr и Nr алгебраические). 3) Пусть k=2, поле Ралгебраически замкнуто и рассматриваемая система состоит из двух уравнений, однородных по х 1, х 2: [img: http://localhost:8080/file/021021-66.jpg] где а 0, a1,..., а п, b0, b1,..., b т- многочлены от х 3,..., xn. При заданных значениях х 3,..., х п система (4) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда равен нулю результант [img: http://localhost:8080/file/021021-67.jpg] Это и дает решение однородной задачи И. т. в рассматриваемом случае. 4) Пусть к=1, поле Ралгебраически замкнуто и рассматриваемая система состоит из двух уравнений: [img: http://localhost:8080/file/021021-68.jpg] где а 0, a1,..., а п, b0, b1,..., b т- многочлены от х 2,..., х п. При заданных значениях х 2,..., х п, не обращающихся в нуль а 0 или b0, система (5) совместна тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021021-69.jpg] Если же а 0=b0=0, то следует рассмотреть [img: http://localhost:8080/file/021021-70.jpg] и т. д. Это позволяет описать в явном виде результат исключения х 1 из системы (5). Исключение неизвестных из произвольной системы алгебраич. уравнений может быть проведено последовательно (т. е. исключается сначала одно неизвестное, затем другое и т. д.) при помощи описываемых ниже "элементарных преобразований". Поскольку после исключения одного неизвестного получается, вообще говоря, не алгебраическое, но конструктивное множество, то следует рассмотреть задачу проектирования на пространство координат х 2,..., х п произвольного конструктивного множества в Р п. Всякое конструктивное множество [img: http://localhost:8080/file/021021-71.jpg] может быть представлено как объединение множеств решений совокупности систем алгебраич. уравнений и неравенств. (Под алгебраич. неравенством здесь понимается неравенство вида [img: http://localhost:8080/file/021021-72.jpg] где f - многочлен.) Элементарным преобразованием такой совокупности наз. преобразование одного из следующих типов: в одной из систем к одному из уравнений прибавляется другое, умноженное на многочлен; в системе, содержащей неравенство f неравно0, одно из уравнений умножается на f; в одной из систем к одному из неравенств прибавляется одно из уравнений, умноженное на многочлен; одна из систем заменяется на две, получаемые из нее приписыванием уравнения f=0и неравенства f неравно 0 соответственно (f - нек-рый многочлен); в одной из систем два неравенства заменяются их произведением. Элементарные преобразования не изменяют объединения множеств решений систем, входящих в данную совокупность. Применяя элементарные преобразования, можно привести любую совокупность систем алгебраич. уравнений и неравенств с неизвестными х 1,..., х п к такому виду, когда в каждую из систем входит не более одного уравнения или неравенства, содержащего х 1, причем наряду с таким уравнением f=0 или неравенством [img: http://localhost:8080/file/021021-73.jpg] в эту же систему входит неравенство [img: http://localhost:8080/file/021021-74.jpg] где f0 - многочлен от x2,..., х п, являющийся старшим коэффициентом в разложении f по степеням х 1. Если поле Ралгебраически замкнуто, то, отбросив в системах полученной совокупности уравнения и неравенства, содержащие х 1, получают совокупность систем алгебраич. уравнений и неравенств с неизвестными х 2,...., х п, к-рая и задает проекцию множества Xна пространство координат х 2,..., х п. Последовательное исключение неизвестных с помощью элементарных преобразований позволяет в принципе свести решение произвольной системы алгебраич. уравнений с пнеизвестными к решению ряда алгебраич. уравнений с одним неизвестным.