Исключительное аналитическое множество

- аналитич. множество Ав комплексном пространстве X, допускающем такое аналитич. отображение f: [img: http://localhost:8080/file/021021-80.jpg] что f(A) = y - точка комплексного пространства Y, а f: [img: http://localhost:8080/file/021021-81.jpg] - аналитич. изоморфизм. Модификация f наз. стягиванием множества Ав точку у. Задача о характеризации исключительных множеств возникла в алгебраич. геометрии в связи с изучением бирациональных преобразований (см. также Исключительное подмногообразие). В аналитич. еометрии найдены весьма общие критерии исключительности множества. А именно, пусть А- связное компактное аналитич. множество положительной размерности в комплексном пространстве X. Множество Аисключительно тогда и только тогда, когда оно обладает в Xотносительно компактной псевдовыпуклой окрестностью, в к-рой Аявляется максимальным компактным аналитич. одмножеством. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021021-82.jpg] - когерентный пучок идеалов, множество нулей к-рого совпадает с A и пусть N- ограничение на Адвойственного к [img: http://localhost:8080/file/021021-83.jpg] линейного пространства над X(см. Векторное аналитическое расслоение). Для исключительнорти множества Адостаточно, чтобы Nбыло слабо отрицательным (см. Положительное расслоение). Если X- многообразие, а A - его подмногообразие, то N- это нормальное расслоение над X. В нек-рых случаях слабая отрицательность расслоения Nявляется и необходимой (напр., если А- подмногообразие коразмерности 1, изоморфное Р k (С), или если X- двумерное многообразие). В частности, кривая Ана комплексной поверхности Xисключительна тогда и только тогда, когда матрица (AiAj) пересечений ее неприводимых компонент отрицательно определена (см. [1], [2]). Строение окрестности И. а. м. [img: http://localhost:8080/file/021021-84.jpg] полностью определяется окольцованным пространством [img: http://localhost:8080/file/021021-85.jpg] при достаточно большом m. И. а. м. обладают следующим свойством транзитивности: если [img: http://localhost:8080/file/021021-86.jpg] - компактные аналитич. ространства в X, причем Висключительно в A, а A - в X, то Висключительно в X. Существует относительное обобщение понятия И. а. м., рассматривающее, грубо говоря, одновременное стягивание семейства аналитич. множеств в аналитич. семействе комплексных пространств. Здесь также справедлив критерий, аналогичный сформулированному выше критерию Грауэрта (см. [2]). Другое естественное обобщение понятия II. а. м. состоит в следующем. Пусть A - подпространство в Xи пусть задано собственное сюръективное голоморфное отображение j: [img: http://localhost:8080/file/021021-87.jpg] Стягиванием пространства Xвдоль j наз. такое собственное сюръективное голоморфное отображение f: X->Y, где У содержит Вв качестве подпространства, что f|A = j и что f индуцирует изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021021-88.jpg] В случае, когда X-многообразие, [img: http://localhost:8080/file/021021-89.jpg] Л - его компактное подмногообразие коразмерности 1, а j - расслоение со слоем Р r (С), r>1, необходимое и достаточное условие стягиваемости пространства Xвдоль j на многообразие Yсостоит в следующем: нормальное расслоение N над Л (совпадающее в этом случае с расслоением, отвечающим дивизору Л) должно индуцировать на каждом слое [img: http://localhost:8080/file/021021-90.jpg] расслоение -L, где Lопределяется гиперплоскостью в Р r (С); соответствующее стягивание обратно к моноидальному преобразованию с центром в В[3]. С другой стороны, для всякой модификации f: [img: http://localhost:8080/file/021021-91.jpg] где Y- многообразие, B - f(A)- его подмногообразие, dim В<dim A и f: [img: http://localhost:8080/file/021021-92.jpg] - изоморфизм, отображение f|A является расслоением со слоем Р r (С). Известны критерии стягиваемости вдоль j и в более общей ситуации (см. [2]). Если Аисключительно в Xи является его голоморфным ретрактом (напр., A - нулевое сечение слабо отрицательного векторного расслоения), то Xдопускает стягивание вдоль любого j. Если при этом размерности слоев ретракции [img: http://localhost:8080/file/021021-93.jpg] равны по крайней мере dim A+2, то по полученному после стягивания пространству Yможно полностью восстановить исходные данные [5].