Исключительное подмногообразие

- замкнутое подмногообразие У алгебраич. многообразия Xопределенного над алгебраич. замкнутым полем, к-рое при помощи некоторого собственного бирационального морфизма f: [img: http://localhost:8080/file/021021-103.jpg] может быть отображено на подмногообразие У меньшей размерности и при этом f: [img: http://localhost:8080/file/021021-104.jpg] - изоморфизм. Морфизм f наз. стягиванием подмногообразия У на Y'=f(Y);это понятие является частным случаем понятия модификации алгебраич. пространств [3]. В случае, когда X, Y, X' и Y' являются гладкими неприводимыми многообразиями, И. п. Yназ. исключительным подмногообразием 1-го рода. Если И. п. У имеет коразмерность 1 в X, то оно наз. также исключительным дивизором. Исключительный дивизор на алгебраич. поверхности наз. исключительной кривой. Понятие И. п. естественным образом распространяется на схемы, комплексные аналитич. и алгебраич. пространства. Соответствующий морфизм при этом также наз. стягиванием; естественным образом определяется понятие И. п. 1-го рода. И. п. комплексного аналитич. ространства наз. также исключительным аналитич. множеством. Характеризация И. п. внутри объемлющего многообразия - одна из основных задач бирациональной геометрии. Исторически первый пример такой характеризации - критерий Касте льнуово - Энрикеса: неприводимая полная кривая Y на гладкой поверхности Xтогда и только тогда является И. п. 1-го рода, когда она изоморфна проективной прямой Р 1 и индекс ее самопересечения (Y -Y)на Xравен -1 (см. [1], [9]). Этот критерий допускает обобщение на одномерные подсхемы двумерных регулярных схем (см. [6], [10]). Если [img: http://localhost:8080/file/021021-105.jpg] - произвольная связная полная кривая c неприводимыми компонентами Yi на гладкой проективной поверхности X, то необходимое (но не достаточное) условие исключительноети кривой У состоит в отрицательной определенности матрицы (Yi [img: http://localhost:8080/file/021021-106.jpg] Yj). (см. [2]). В случаях связной компактной комплексной кривой на гладкой комплексной поверхности и связной полной кривой на гладком двумерном алгебраич. пространстве аналогичное условие является необходимым и достаточным условием исключительности. Многомерное обобщение критерия Кастельнуово - Энрикеса для стягивания в точку имеет следующий вид [5]: неприводимое полное подмногообразие У в гладком алгебраич. многообразии Xтогда и только тогда является И. п. 1-го рода относительно стягивания в точку, когда выполняются следующие два условия: а) [img: http://localhost:8080/file/021021-107.jpg] где r=dim X-1; б) нормальное расслоение NY/X к Y в X определяется дивизором -H, где Н- гиперплоскость в Р r. При этом X' проективно. Соответствующее стягивание f является моноидальным преобразованием с центром в точке f(Y) (см. [7], [8]). В аналитич. случае найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы связное компактное комплексное подмногообразие У в комплексном многообразии Xбыло И. п. 1-го рода; соответствующее стягивание f необходимо является моноидальным преобразованием с центром в Y'=f(Y)(см. Исключительное аналитическое множество). Аналогичный критерий справедлив для алгебраич. пространств [3]. Для алгебраич. многообразий соответствующие условия необходимы, но не всегда достаточны. При стягивании f: [img: http://localhost:8080/file/021021-108.jpg] И. п. 1-го рода У в алгебраич. проективном многообразии Xна подмногообразие ненулевой размерности Y' в X' алгебраич. многообразие X' может уже не быть проективным. Более того, если алгебраич. многообразия Xи Y определены над полем комплексных чисел, то при аналитич. стягивании f И. п. 1-го рода Y не в точку многообразие X' в общем случае не является алгебраическим. Если рассматривать вопрос о стягиваемости в точку И. п. (не обязательно 1-го рода), то для полного связного алгебраич. подпространства У гладкого алгебраич. пространства Xдостаточным (но не необходимым при dim Х>2)условием исключительности является отрицательность нормального расслоения NY/X. Аналогичный факт имеет место для комплексных пространств. В случае алгебраич. пространств наиболее общий критерий исключительности утверждает, что в категории нётеровых алгебраич. пространств подпространство У в Xтогда и только тогда является И. п., когда формальное пополнение [img: http://localhost:8080/file/021021-109.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/021021-110.jpg] вдоль является И. п. в категории формальных алгебраич. пространств [3]. Иными словами, стягивание алгебраич. подпространства возможно тогда и только тогда, когда возможно его соответствующее формальное стягивание.