Йорданова алгебра

- алгебра, в к-рой справедливы тождества [img: http://localhost:8080/file/021101-1.jpg] 4 Такие алгебры впервые возникли в работе П. Йордана [1], посвященной аксиоматизации основ квантовой механики (см. также [2]), а затем нашли применения в алгебре, анализе и геометрии. Пусть А- ассоциативная алгебра над полем характеристики [img: http://localhost:8080/file/021101-2.jpg] Множество Ас операциями сложения и йорданова умножения [img: http://localhost:8080/file/021101-3.jpg] образует алгебру A(+), к-рая является йордановой. Й. а., изоморфная подалгебре алгебры А (+) для некрой ассоциативной алгебры А, наз. специальной. Роль специальных алгебр в теории Й. а. во многом аналогична роли ассоциативных алгебр в теории альтернативных алгебр. В основе этой аналогии лежит теорема о том, что всякая двупорожденная подалгебра Й. а. специальна. (Всякая двупорожденная подалгебра альтернативной алгебры - ассоциативна.) Однако класс специальных Й. а. не является многообразием, т. е. не задается тождествами, поскольку специальные алгебры могут иметь неспециальные гомоморфные образы. Тем не менее, найден ряд тождеств 8-й и 9-й степеней, которым удовлетворяет всякая специальная Й. а. и не удовлетворяют нек-рые неспециальные алгебры, а также доказано, что таких тождеств степени <7 не существует. Необходимое и достаточное условие специальности алгебры: Й. а. специальна тогда и только тогда, когда она изоморфно вложима в Й. а., каждое счетное подмножество к-рой лежит в подалгебре, порожденной двумя элементами. Примеры. 1) Пусть V- векторное пространство над полем Fс симметрической билинейной формой f(х, у),a F-e0+V- пространство на единицу большей размерности, на к-ром формулой [img: http://localhost:8080/file/021101-4.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021101-5.jpg] определяется умножение.' Возникающая таким образом алгебра наз. алгеброй симметрической билинейной формы f. Она изоморфно вкладывается в алгебру C(V, f)(+), где С(V, f) - алгебра Клиффорда формы f, и потому является специальной Й. а. 2) Пусть А - ассоциативная алгебра и f - ее инволюция (антиизоморфизм порядка два). Множество [img: http://localhost:8080/file/021101-6.jpg] является подалгеброй в A(+) и образует специальную Й. а. 3) Пусть С- альтернативная неассоциативная алгебра над полем Fс инволюцией [img: http://localhost:8080/file/021101-7.jpg] неподвижные элементы к-рой лежат в ассоциативном центре алгебры С. В алгебре матриц С 3 третьего порядка над Сподмножество [img: http://localhost:8080/file/021101-8.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021101-9.jpg] относительно операций сложения и йорданова умножения образует неспецлальную Й. а. Такая алгебра не является гомоморфным образом никакой специальной алгебры. Конечномерные простые Й. а. над алгебраически замкнутым полем Fхарактеристики [img: http://localhost:8080/file/021101-10.jpg] полностью классифицированы (см. [3]). Центральные простые конечномерные Й. а. разбиваются на пять серий. Серии (А) - (D) бесконечны и состоят из специальных алгебр, серия (Е) состоит из одной неспециальной алгебры: (А) Fn(+); (В) H(Fn,J1), где J1: [img: http://localhost:8080/file/021101-11.jpg] (С) H(F2n, JS),где JS: [img: http://localhost:8080/file/021101-12.jpg] S=diag {Q,Q,...,Q}, Q= [img: http://localhost:8080/file/021101-13.jpg] (D) F-e0+V - алгебра симметрической невырожденной билинейной формы; (Е) H(С 3, J1), где С - алгебра Кэли - Диксона со стандартной инволюцией. Эта алгебра 27-мерна над F. Во всякой конечномерной Й. а. J радикал (наибольший нильидеал) Nнильпотентен и факторалгебра [img: http://localhost:8080/file/021101-14.jpg] есть конечная прямая сумма простых Й. а. Если факторалгебра [img: http://localhost:8080/file/021101-15.jpg] сепарабельна, то алгебра J обладает разложением J=N+W в сумму радикала и полупростой подалгебры W, изоморфной J. В случае поля характеристики 0 все полупростые слагаемые Wсопряжены относительно автоморфизмов специального вида (см. [3]). С некоторыми ограничениями на алгебру это верно и в случае поля характеристики р>0. Обобщением теории конечномерных Й. а. является теория Й. а. с условием минимальности для квадратичных (внутренних) идеалов (см. [3], [4], [5]). Квадратичный идеал"Q алгебры J - это такое подпространство, что [img: http://localhost:8080/file/021101-16.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021101-17.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021101-18.jpg] где {abc}=(аb) с+(bс)а-(са)b- тройное йорданово произведение. Если J - Й. а. с условием минимальности для квадратичных идеалов и R - ее квазирегулярный радикал, то факторалгебра J/R есть конечная прямая сумма простых алгебр, к-рые описаны за исключением Й. а. с делением. В случае, когда алгебра J специальна, доказано, что радикал Rнильпотентен и конечномерен. Алгебраическая специальная Й. а., удовлетворяющая нетривиальному (для специальных алгебр) тождеству, локально конечномерна; специальная йорданова нильалгебра с нетривиальным тождеством локально нильпотентна [6]. В частности, специальная алгебраическая (ниль) Й. а. ограниченного индекса является локально конечномерной (нильпотентной). Конечно порожденная разрешимая И. а. нильпотентна, в общем случае это не верно даже для специальных алгебр. Йорданово Ф-операторное кольцо, являющееся конечно порожденным Ф-модулем с нильпотентными порождающими элементами, нильпотентно [7]. Каждой Й. а. можно различными способами сопоставлять алгебры Ли (см. [3], [8]). Ряд теорем о Й. а. получен с помощью известных теорем об алгебрах Ли. Так, напр., доказано, что полупростая конечномерная Й. а. над алгебраически замкнутым полем характеристики О имеет базис с целочисленными структурными константами. Для теории алгебр Ли эти конструкции также полезны, так как с их помощью реализуются нек-рые важные классы алгебр Ли. Напр., алгебра Ли дифференцирований простой Й. а. типа (Е) есть исключительная простая алгебра Ли F4, а алгебра линейных преобразований этой же алгебры, оставляющих инвариантной нек-рую кубич. форму, есть исключительная простая алгебра Ли Е е. При помощи другой конструкции, сопоставляющей альтернативной алгебре степени 2 и Й. а. степени 3 некоторую алгебру Ли, можно реализовать все пять простых исключительных алгебр Ли типов G2, F4, Е 6, Е 7, Е 8. Интересно, наконец, отметить, что нек-рые алгебры, возникающие в генетике, являются йордановыми [10].