Казимира элемент

оператор Казимира,- центральный элемент специального вида в универсальной обертывающей алгебре полупростой алгебры Ли. Такие операторы в одном частном случае были впервые введены X. Казимиром [1]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021201-12.jpg] - полупростая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0, В- билинейная симметричная инвариантная (т. е. В([ х, у], z) = B(x,[ у, z]) для всех [img: http://localhost:8080/file/021201-13.jpg]) форма на [img: http://localhost:8080/file/021201-14.jpg] невырожденная на идеале [img: http://localhost:8080/file/021201-15.jpg] К. э. алгебры [img: http://localhost:8080/file/021201-16.jpg] (относительно формы В)наз. элемент универсальной обертывающей алгебры [img: http://localhost:8080/file/021201-17.jpg] представимый в виде [img: http://localhost:8080/file/021201-18.jpg] где {е i},{fi} - дуальные базисы [img: http://localhost:8080/file/021201-19.jpg] относительно формы В, т. е. В(е i, fi)=dij, i=1,..., l,dij - символ Кронекера, [img: http://localhost:8080/file/021201-20.jpg] Элемент bне зависит от выбора дуальных базисов в [img: http://localhost:8080/file/021201-21.jpg] и содержится в центре [img: http://localhost:8080/file/021201-22.jpg] Если алгебра [img: http://localhost:8080/file/021201-23.jpg] проста, то К. э. алгебры [img: http://localhost:8080/file/021201-24.jpg] определяемый Киллинга формой в В, является единственным, с точностью до числового множителя, центральным элементом в [img: http://localhost:8080/file/021201-25.jpg] представимым в виде однородного квадратичного полинома от элементов алгебры [img: http://localhost:8080/file/021201-26.jpg] Каждое линейное представление j полупростой алгебры [img: http://localhost:8080/file/021201-27.jpg] в конечномерном пространстве Vопределяет билинейную симметрическую инвариантную форму [img: http://localhost:8080/file/021201-28.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/021201-29.jpg] невырожденную на идеале [img: http://localhost:8080/file/021201-30.jpg] дополнительном к kеr j, и тем самым нек-рый К. э. [img: http://localhost:8080/file/021201-31.jpg] Если j неприводимо, то продолжение представления j на [img: http://localhost:8080/file/021201-32.jpg] переводит bj в [img: http://localhost:8080/file/021201-33.jpg]