Каратеодори - фейера задача

- задача о продолжимости многочлена от z до степенного ряда, представляющего собой регулярную в круге |z|<1 функцию, реализующую наименьшее значение супремума модуля в круге |z|<1 в классе всех регулярных в |z|<1 функций, к-рые имеют начальным отрезком своего разложения в ряд Маклорена данный многочлен. Решение этой задачи дается следующей теоремой. Теорема Каратеодори-Фейера [1]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021203-74.jpg] - данный многочлен, [img: http://localhost:8080/file/021203-75.jpg] Существует единственная рациональная функция R(z) = B(z, с 0, с 1,..., cn-1) вида [img: http://localhost:8080/file/021203-76.jpg] регулярная в |z|<1 и имеющая в своем разложении в ряд Маклорена ппервых коэффициентов, равных соответственно с 0, с 1,..., cn-1. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение [img: http://localhost:8080/file/021203-77.jpg] в классе всех регулярных в круге |z|<l функций f(z) вида [img: http://localhost:8080/file/021203-78.jpg] и указанное наименьшее значение равно l=l(с 0, с 1,...,с n-1). Число l(с 0, ct,...,cn-1) paвно наибольшему положительному корню уравнения 2n-й степени [img: http://localhost:8080/file/021203-79.jpg] Если с 0, с 1,..., с n-1 - действительные числа, то l(с 0, cl...., cn-1) является наибольшим из абсолютных значений корней уравнения n-й степени [img: http://localhost:8080/file/021203-80.jpg]