Карлемана теорема

- 1) К. т. о квазианалитических классах функций - необходимое и достаточное условие квазианалитичности в смысле Адамара. найденное Т. Карлеманом [1] (см. также [5]). Класс K действительных функций f(x), бесконечно дифференцируемых на отрезке [ а, b], наз. кваз и аналитическим в смысле Адамара, если из равенств fn (с) = 0, п=0,1,..., в какой-либо точке с, а<с<b, следует, что f(x)=0. Формулировка теоремы: класс Кквазианалитическии тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021204-9.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021204-10.jpg] А(f) - константа, а последовательность {an} удовлетворяет одному из равносильных условий: [img: http://localhost:8080/file/021204-11.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021204-12.jpg] В теории квазианалитич. классов функций это - один из первых законченных результатов. Квазианалитич. классы, определяемые условиями (1), (2), часто наз. классами Карлемана. 2) К. т. об условиях определенности проблемы моментов: если последовательность положительных чисел sn, n=0, 1,..., удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/021204-13.jpg] то проблема моментов [img: http://localhost:8080/file/021204-14.jpg] является определенной. Это означает, что существует неубывающая функция s(t), [img: http://localhost:8080/file/021204-15.jpg] для к-рой выполняются равенства (3), единственная с точностью до прибавления любой функции, постоянной в окрестности каждой точки ее непрерывности. Теорема установлена Т. Карлеманом (см. [1], [2]). 3) К. т. о равномерном приближении целыми функциями: если f(х) - любая непрерывная функция на действительной оси, а e(r), [img: http://localhost:8080/file/021204-16.jpg] - положительная непрерывная функция, сколь угодно быстро убывающая при [img: http://localhost:8080/file/021204-17.jpg] то существует целая функция g(z) комплексного переменного z=x+iy такая, что [img: http://localhost:8080/file/021204-18.jpg] Эта теорема, установленная Т. Карлеманом [3], явилась исходным пунктом исследований по приближениям целыми функциями. В частности, континуум Ена плоскости z наз. континуумом Карлемана, если для любой непрерывной на Екомплексной функции f(z)и произвольно быстро убывающей при r стремящимся к беск. положительной функции e(r), нижняя грань к-рой на любом конечном интервале положительна, существует целая функция g(z), удовлетворяющая неравенству [img: http://localhost:8080/file/021204-19.jpg] Необходимые и достаточные условия, при к-рых замкнутое множество Еявляется континуумом Карлемана, получены в теореме Келдыша-Лаврентьева (см. [6]). Напр., континуумом Карлемана является замкнутое множество, составленное из лучей вида [img: http://localhost:8080/file/021204-20.jpg] 4) К. т. о приближении аналитических функций полиномами в среднем по площади области: пусть D- конечная область на плоскости комплексного переменного z= x+iy, ограниченная жордановой кривой Г, и пусть f(z) - регулярная аналитич. функция в Dтакая, что [img: http://localhost:8080/file/021204-21.jpg] тогда для любого числа e>0 найдется такой полином Р(z), что [img: http://localhost:8080/file/021204-22.jpg] Этот результат установлен Т. Карлеманом [4]. Аналогичное утверждение верно и для случая приближения с любым положительным непрерывным весом, причем граница Г может быть и более общей природы. Система степеней {zn},n=0, 1,..., полна относительно любого такого веса. Ортогонализация и нормирование этой системы дает полиномы Pn(z)степеней и, часто наз. полиномами Карлемана.