Картана подалгебра

конечномерной алгебры Ли g над полем k - нильпотентная подалгебра в [img: http://localhost:8080/file/021205-49.jpg] совпадающая со своим нормализатором в [img: http://localhost:8080/file/021205-50.jpg] Напр., если [img: http://localhost:8080/file/021205-51.jpg] - алгебра Ли всех комплексных квадратных матриц фиксированного порядка, то подалгебра всех диагональных матриц является К. п. в g. К. п. может быть определена также как нильпотентная подалгебра t в g, совпадающая со своей фиттинговой нуль-к омпонентой [img: http://localhost:8080/file/021205-52.jpg] где ad обозначает присоединенное представление g. Пусть, далее, характеристика кравна 0. Для произвольного регулярного элемента [img: http://localhost:8080/file/021205-53.jpg] множество n(Х,ft) всех элементов из ft, аннулируемых степенями оператора ad X, является К. п. в g и всякая К. п. в g имеет вид (Х,ft) для подходящего регулярного элемента X. Всякий регулярный элемент принадлежит одной и только одной К. п. Размерности всех К. п. в Qодинаковы и равны рангу алгебры д. Всякая максимальная нильпотентная подалгебра в g размерности, равной рангу [img: http://localhost:8080/file/021205-54.jpg] есть К. п. (но не всякая максимальная нильпотентная подалгебра есть К. п.). Образ К. п. при сюръективном гомоморфизме алгебр есть К. п. Если поле k алгебраически замкнуто, то все К. п. в g сопряжены, а точнее, преобразуются друг в друга операторами из алгебраич. группы Dавтоморфизмов алгебры д, алгебра Ли к-рой есть коммутант алгебры ad Д. Если g разрешима, это утверждение справедливо и без предположения об алгебраич. замкнутости к. Пусть G - либо неприводимая алгебраич. линейная группа над k, либо связная группа Ли, и g - ее алгебра Ли. Тогда подалгебра t в g будет К. п. в д, если и только если она является алгеброй Ли Картана подгруппы в G. Пусть g - подалгебра алгебры [img: http://localhost:8080/file/021205-55.jpg] всех эндоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад k,a [img: http://localhost:8080/file/021205-56.jpg] - наименьшая Ли алгебраическая алгебра в [img: http://localhost:8080/file/021205-57.jpg] содержащая [img: http://localhost:8080/file/021205-58.jpg] Тогда, если- [img: http://localhost:8080/file/021205-59.jpg] К. п. в [img: http://localhost:8080/file/021205-60.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021205-61.jpg] - К. п. в [img: http://localhost:8080/file/021205-62.jpg] и если t - К. п. в g, a- [img: http://localhost:8080/file/021205-63.jpg] наименьшая алгебраич. подалгебра в [img: http://localhost:8080/file/021205-64.jpg] содержащая t, то [img: http://localhost:8080/file/021205-65.jpg] - К. п. в [img: http://localhost:8080/file/021205-66.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021205-67.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/021205-68.jpg] - некоторое расширение полей, то подалгебра t в g есть К. п. тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021205-69.jpg] есть К. п. в [img: http://localhost:8080/file/021205-70.jpg] Особо важную роль К. п. играют, когда g - полупростая алгебра Ли (это было использовано Э. Картаном [1]). В этом случае всякая К. п. t в g абелева и состоит из полупростых элементов (см. Жордана разложение), а ограничение Киллинга формы на t невырождено.