Картана подгруппа

группы G - максимальная нильпотентная подгруппа Св G, всякий нормальный делитель конечного индекса к-рой является подгруппой конечного индекса в своем нормализаторе в G. Если G - связная линейная алгебраич. группа над полем характеристики 0, то К. п. в Gмогут быть определены и как замкнутые связные подгруппы, алгебры Ли к-рых являются Картана подалгебрами алгебры Ли группы G. Примером К. п. может служить подгруппа Dвсех диагональных матриц в группе GLn(k)всех невырожденных матриц. В связной линейной алгебраич. группе GК. п. может быть определена также как централизатор максимального тора группы Gили как связная замкнутая нильпотентная подгруппа, совпадающая со связной компонентой единицы своего нормализатора в G. Множества Cs и С u всех полупростых и ушшотентных элементов в С(см. Жордана разложение)являются замкнутыми подгруппами в С и С= С s [img: http://localhost:8080/file/021205-71.jpg] С и. При этом С s- единственный максимальный тор группы G, лежащий в С. Размерность К. п. группы Gназ. рангом группы G. Объединение всех К. п. группы Gсодержит открытое в топологии Зариского подмножество в G(но, вообще говоря, не совпадает с G). Всякий-полупростой элемент в Gлежит по крайней мере в одной К. п., а всякий регулярный элемент - ровно в одной К. п. Если j: [img: http://localhost:8080/file/021205-72.jpg] - сюръективный морфизм линейных алгебраич. групп, то К. п. в С - образы К. п. в G относительно j. Любые две К. п. в Gсопряжены. Пусть группа Gопределена над полем k, тогда в Gсуществует К. п., также определенная над k, более того, Gпорождается своими К. п., определенными над к. Две определенные над кК. п. в Gмогут быть и не сопряжены над k(но в случае, когда G разрешима, они сопряжены). Многообразие К. п. группы G рационально над к. К. п. связной полупростой (или, более общо, редуктивной) группы G является максимальным тором в G. Пусть G-связная вещественная группа Ли с алгеброй Ли д. Тогда К. п. группы G замкнуты в G (но не обязательно связны) и их алгебрами Ли являются подалгебры Картана алгебры д. Если G - аналитич. одгруппа в GLn(R), а [img: http://localhost:8080/file/021205-73.jpg] -наименьшая содержащая Gалгебраич. подгруппа в GLn(R), то К. п. в G являются пересечениями G с К. п. в [img: http://localhost:8080/file/021205-74.jpg] В случае, когда G компактна, К. п. связны, абелевы (являются максимальными торами) и сопряжены между собой, а всякий элемент в Gлежит в нек-рой К. п.