Картана теорема

- 1) К. т. о старшем векторе: пусть g - комплексная полупростая алгебра Ли, ei, fi, hi, i=i,..., r- ее канонические образующие, т. е. линейно независимые образующие, между к-рыми имеются следующие соотношения: [img: http://localhost:8080/file/021205-79.jpg] где а ii=2, aij -неположительные целые числа при [img: http://localhost:8080/file/021205-80.jpg] i, j=1,..., r, aij=0 влечет за собой а ji-=О, и пусть t - подалгебра Картана алгебры [img: http://localhost:8080/file/021205-81.jpg] являющаяся линейной оболочкой элементов h1,..., hr. Пусть также р - линейное представление g в комплексном конечномерном пространстве V. Тогда существует ненулевой вектор [img: http://localhost:8080/file/021205-82.jpg] для которого: [img: http://localhost:8080/file/021205-83.jpg] где ki - некоторые числа. К. т. установлена Э. Картаном [1]. Вектор vназ. старшим вектором представления р, а линейная функция L на t, определенная условиями [img: http://localhost:8080/file/021205-84.jpg] г=1,..., r, наз. старшим весом представления р, соответствующим v. Упорядоченный набор чисел (k1,..., kr)наз. набором числовых отметок старшего веса [img: http://localhost:8080/file/021205-85.jpg] К. f. дает полную классификацию неприводимых конечномерных линейных представлений комплексной полупростой конечномерной алгебры Ли. Она утверждает, что всякое конечномерное комплексное неприводимое представление g обладает единственным, с точностью до пропорциональности, старшим вектором, причем соответствующие ему числовые отметки - неотрицательные целые числа; два конечномерных неприводимых представления эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие старшие веса совпадают и любой набор неотрицательных целых чисел является набором числовых отметок старшего веса нек-рого конечномерного комплексного неприводимого представления.