Категория

(в смысле Люстерника - Шнирельмана) - характеристика топологич. пространства Е- минимальное число cat Е таких замкнутых множеств [img: http://localhost:8080/file/021207-68.jpg] к-рыми можно покрыть Еи каждое из к-рых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в Е. К. является гомотопич. инвариантом (т. е. совпадает для всех топологич. пространств одного гомотопического типа). К. имеет важное значение для вариационного исчисления в целом, так как она оценивает снизу число стационарных (критических) точек гладкой функции на замкнутом многообразии. Уже простейшие примеры вроде функции/(х)= х, рассматриваемой на всей действительной оси и вообще не имеющей критич. точек, показывают, что за пределами класса замкнутых многообразий нельзя ожидать, чтобы такая оценка выполнялась для всех гладких функций. Тем не менее в ряде случаев удается получить аналогичную оценку для числа критич. точек различных изучаемых в вариационном исчислении функционалов, рассматриваемых как функции на бесконечномерных функциональных пространствах. Общих методов вычисления К. не имеется (хотя известно ее значение для некоторых конкретных пространств), известна только оценка [img: http://localhost:8080/file/021207-69.jpg] где (когомологическа я) длина long Eопределяется как наибольшее число классов когомологий положительной размерности, произведение которых может быть отлично от нуля. Поэтому иногда рассуждения проводят непосредственно в терминах когомологического умножения (или, двойственно, пересечения циклов), не обращаясь к К. К. введена в [1], впервые вычислена в нетривиальном случае (для действительного проективного пространства) и сразу же использована для решения ряда задач, в том числе задачи Пуанкаре о трех замкнутых геодезических на поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере [2].