Квадратичная форма

над коммутативным люльцом с единицей - однородный многочлен [img: http://localhost:8080/file/021208-92.jpg] от n=n(q)переменных с коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/021208-93.jpg] Обычно R- это поле С, R или Q, либо кольцо Z, кольцо целых элементов алгебраич. числового поля, а также их пополнения по неархимедовым нормам. Симметрическая квадратная матрица A = A(q)=(aij)порядка п, где а ii=2qii, aij=aji=qij, [img: http://localhost:8080/file/021208-94.jpg] наз. кронекеровой матрицей К. ф. д{х);. обозначение Зигеля: [img: http://localhost:8080/file/021208-95.jpg] Eсли дискриминантD(q). К. ф. qне равен 0, то qназ. не вырожденной, а если равен 0, то - вырожденной. К. ф. q(x)наз. гауссовой, если она допускает симметрическую запись: [img: http://localhost:8080/file/021208-96.jpg] т. е. найдутся [img: http://localhost:8080/file/021208-97.jpg] для к-рых qij=2bij,< [img: http://localhost:8080/file/021208-98.jpg] < [img: http://localhost:8080/file/021208-99.jpg] Симметрическая квадратная матрица B=B(q)=(bij) наз. матрицей (или гауссовой матрицей) К. ф. q(x). Величина:d=d(g) = det В наз. определителем К. ф. q(x);при этом D(q) = (-1)n/22n d(q), если п(q) четно, D(q) =(- 1)(п-1)/2 2n-1d(q), если (q)нечетно. Если R- поле характеристики, отличной от 2, то всякая К. ф. над Л гауссова. Если Л вкладывается в поле Fхарактеристики, отличной от 2, то К. ф. q(x)над R можно рассматривать как гауссову, но с матрицей B=B(q)над Fи [img: http://localhost:8080/file/021208-100.jpg] К. ф. qr и q2 эквивалентны над R(q1-q2), если одна из них преобразуется в другую обратимой в Rлинейной однородной подстановкой переменных, т. е. если найдется такая обратимая квадратная матрица Uнад Л, что A(q1)=UTA(q2)U. Совокупность К. ф. над Л, эквивалентных над Л данной, называется классом К. ф. Дискриминант К. ф., с точностью до квадрата обратимого в Л элемента,- инвариант класса. Другая точка зрения на К. ф. состоит в следующем. Пусть V- унитарный Л-модуль; отображение q: [img: http://localhost:8080/file/021208-101.jpg] наз. квадратичным отображением (или квадратичной формой на модуле V, если 1) q(ax) = a2q(x), [img: http://localhost:8080/file/021208-102.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021208-103.jpg] 2) отображение bq: [img: http://localhost:8080/file/021208-104.jpg] задаваемое равенством bq(x, y) = q(x+y) - q(x) - q(y), является билинейной формой на модуле V. Пара (V, q)наз. квадратичным модулем. Форма bq всегда является симметрической. Всякой билинейной форме b(х, у)на Vотвечает К. ф. q(x) = qb(x)=b(x,x);при этом [img: http://localhost:8080/file/021208-105.jpg] Если в кольце Л элемент 2 имеет обратный 1/2, то [img: http://localhost:8080/file/021208-106.jpg] есть взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметричными билинейными формами на модуле V. Если V- свободный Л-модуль ранга пи q - К. ф. на V, то каждому базису е 1,..., е п модуля Vотвечает К. ф. в классическом понимании [img: http://localhost:8080/file/021208-107.jpg] где qii=q(ei), qij=bq(ei, ej), [img: http://localhost:8080/file/021208-108.jpg]. Каждая К. ф. q(x1,..., х п)над Л получается таким способом из нек-рого квадратичного модуля (Rn, q). При замене базиса К. ф. q(x1,..., х п)переходит в эквивалентную К. ф., и обратно. Говорят, что элемент [img: http://localhost:8080/file/021208-109.jpg] представим К. ф. q(или что форма qпредставляет у), если уявляется значением этой формы при нек-рых значениях переменных. Эквивалентные К. ф. представляют одни и те же элементы. К. ф. q(x)над упорядоченным полем наз. неопределенной, если она представляет как положительные, так и отрицательные элементы, и наз. положительно (отрицательно) определенной, если q(x)>0 (соответственно q(x)<0) при всех х неравных 0. Невырожденная К. ф., представляющая 0 нетривиально, наз. изотропной, в противном случае - анизотропной. Аналогично, К. ф. r(y1,..., у т). наз. представим ой К. ф. q, если qпревращается в rпри подстановке нек-рых линейных форм от у 1,..., у т вместо переменных в q, т. е. если существует прямоугольная матрица Sпорядка тХп над Л такая, что A(r) = ST A(q)S (T- знак транспонирования). Алгебраическая теория К. ф.- теория К. ф. над полями. Пусть F- произвольное поле характеристики, отличной от 2. Задача о представлении формы r формой qнад Fсводится к проблеме эквивалентности форм над F, ибо (теорема Полла) для того, чтобы невырожденная К. ф. г была представима невырожденной К. ф. qнад Л, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая форма h = h(xm+1,..., х п), что К. ф. r+h и qэквивалентны над F. Здесь r+h - ортогональная прямая сумма форм, т. е. rи hне имеют общих переменных. Теорема Витта о сокращении: если h+ [img: http://localhost:8080/file/021208-110.jpg] +q2, то [img: http://localhost:8080/file/021208-111.jpg] Всякая К. ф. над Fэквивалентна диагональной: a1x12+a2x22+...+arxr2+...+anxn2. Можно считать, что а 1;..., а r [img: http://localhost:8080/file/021208-112.jpg] 0, а а r+1=... = an=0. Число rназывается рангом К. ф. q n совпадает с рангом матрицы A(q). Если в Fсуществует квадратный корень из любого элемента, то К. ф. над Fэквивалентна форме x12+...+xr2 (нормальный вид К. ф.). Всякая невырожденная К. ф. qэквивалентна форме [img: http://localhost:8080/file/021208-113.jpg] где q0 анизотропна; при этом qоднозначно определяет kи класс формы q0 над F, называемый анизотропным ядром формы q(см. также Bumma разложение). Две формы q1 и q2, имеющие одно и то же анизотропное ядро, наз. подобными по Витту. На классах подобия форм определена структура кольца (см. Bumma кольцо). Пусть F- упорядоченное поле (в частности, поле R)и всякий положительный элемент в Fявляется квадратом. Тогда всякая К. ф. qприводима к форме вида [img: http://localhost:8080/file/021208-114.jpg] При этом числа sи r- s(положительный и отрицательный индексы инерции) определены формой однозначно (см. Инерции закон). Тем самым для этих полей разрешается проблема эквивалентности К. ф. Над полем Q проблема эквивалентности сводится к аналогичной проблеме для полей р-адических чисел: для того чтобы К. ф. q1 и q2 были эквивалентны над Q, необходимо и достаточно, чтобы q1 и q2 были эквивалентны над Qp для всех простых чисел ри над Q00 = R. (теорема Минковского - Хассе). Аналогичное утверждение справедливо и для A-полей - алгебраических числовых полей и полей алгебраич. функций от одной переменной над конечным полем констант. Это - частные случаи общего Хассе принципа. В поле [img: http://localhost:8080/file/021208-115.jpg] проблема эквивалентности решается с помощью Хассе инварианта. К. ф. qнад полем Fназ. мультипликативной над F, если [img: http://localhost:8080/file/021208-116.jpg] где z,- суть рациональные функции от х 1,..., х п, у 1,..., у п над F. Если при этом zi - билинейныз функции, то говорят, что форма обладает композицией. Композиция возможна лишь в случаях п=2, 4, 8 (теорема Гурвица). Существует простое описание мультипликативных форм [16]. Изложенная алгебраич. теория К. ф. обобщена [7] на случай поля характеристики 2. Арифметическая теория К. ф.- теория К. ф. над кольцами. Она возникла в связи с задачей о решении диофантовых уравнений 2-й степени. Вопрос о решении таких уравнении сводится к задаче о представлении целых чисел целочисленной К. ф. q, т. е. к задаче решения в [img: http://localhost:8080/file/021208-117.jpg] уравнения b=q(x1,..., х п). Известны алгоритмы, сводящие нахождение (описание) всех решений этого уравнения к проблеме эквивалентности К. ф. над Z, т. е. к задаче отыскания по заданным К. ф. [img: http://localhost:8080/file/021208-118.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021208-119.jpg] обратимых матриц Uнад Z, удовлетворяющих условию UTAU=A1. Для n=2 эти алгоритмы были построены Ж. Лагранжем (J. Lagrange) и К. Гауссом (С. Gauss), к-рые создали общую теорию бинарных К. ф. На произвольное пони обобщены Г. Смитом (Н. Smith) и Г. Минковским (Н. Minkowski). Одной из центральных проблем арифметич. теории является задача отыскания простых критериев существования представлений Sформы [img: http://localhost:8080/file/021208-120.jpg] В[х]формой [img: http://localhost:8080/file/021208-121.jpg] т. е. решений матричного уравнения [img: http://localhost:8080/file/021208-122.jpg] а также задача построения формул для числа R(q, r)= R(A, В)таких представлений. При этом, если число представлений бесконечно, то речь идет о числе В'(q, r)"существенно различных" представлений (представления Sи S' отождествляются, если S'=VS, где V - целочисленный автоморфизм формы q{x), т. е. VTAV=A). Необходимым условием существования представлений является разрешимость уравнения (1) над R и разрешимость над Z матричного сравнения [img: http://localhost:8080/file/021208-123.jpg] по любому g. (Для разрешимости всех сравнений (2) достаточна разрешимость (2) при g=go=8D(q)D (r).)Эти необходимые условия, наз. "родовыми", равносильны разрешимости (1) над Z р для любого простого числа ри над [img: http://localhost:8080/file/021208-124.jpg] Они равносильны также разрешимости (1) над полем рациональных чисел Q "без существенного знаменателя", т. е. существованию рационального решения Sс общим знаменателем, взаимно простым с любым наперед заданным числом g(достаточно ограничиться числом g=g0). Условия разрешимости сравнений (2) можно выразить через родовые инварианты форм q и r. Число решений сравнения (2) находится с помощью сумм Гаусса. Род К. ф. над [img: http://localhost:8080/file/021208-125.jpg] - множество K. ф. над [img: http://localhost:8080/file/021208-126.jpg] эквивалентных друг другу над [img: http://localhost:8080/file/021208-127.jpg] для всех простых р, включая Zoo =R. Род К. ф. состоит из конечного числа классов одного и того же дискриминанта. Род К. ф. q(x)= [img: http://localhost:8080/file/021208-128.jpg] может быть задан конечным набором родовых инвариантов - инвариантов порядка, выражаемых через элементарные делители матрицы А, и характеров рода [img: http://localhost:8080/file/021208-129.jpg] Род может быть задан также значениями сумм Гаусса. Существенную роль в теории К. ф. играет также понятие спинорного рода, более тонкое, чем понятие рода. Число R'(q, r)существенно различных представлений формы г формой qпросто связано с числом R'0(q, r)существенно различных примитивных представлений, т. е.. таких представлений S, что наибольший общий делитель миноров порядка тматрицы равен 1. Для величины [img: http://localhost:8080/file/021208-130.jpg] (усреднения функции R'0(q, r)по роду формы q), где q1,..., ql - представители всех классов рода формы q(из каждого класса по одному), имеются (см. [11], [15]) формулы, выражающие S0(q, r)через число решений нек-рых сравнений. В случае, когда род формы qсостоит из одного класса, эти формулы полностью решают вопрос о числе представлений. В случае многоклассных родов известны лишь асимптотич. формулы для R(q, r), а также точные формулы для нек-рых конкретных К. ф. продолжение Квадратичная форма... Аналитическая теория К. ф. Аналитич. методы в теорию К. ф. были введены П. Дирихле (P.Dirichlet). Развивая эти методы, К. Зигель (К. Siegel) пришел к общим формулам для числа представлений формы родом форм. Пусть q(x1,..., х п)= [img: http://localhost:8080/file/021209-15.jpg]. и r(x1,..., х т) = [img: http://localhost:8080/file/021209-16.jpg] - положительно определенные К. ф. над Z. Число [img: http://localhost:8080/file/021209-17.jpg] наз. зигелевым средним по роду для числа представлений R(q,r) формы rформой q. Здесь E(qi)- число автоморфизмов формы q;, [img: http://localhost:8080/file/021209-18.jpg] - вес рода К. ф. q. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021209-19.jpg] где О - окрестность точки r=r (х)в m(m+1)/2-мерном пространстве m-арных К. ф. над R, J' - соответствующая область решений S1 матричного уравнения (1) над R, a V(J)и F(J') - их объемы. Формула Зигеля для К. ф. qи r имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021209-20.jpg] где х=1/2, если n=m>1 или n=m+i и t=1 в остальных случаях. Здесь [img: http://localhost:8080/file/021209-21.jpg] где предел берется по таким последовательностям g, что любое натуральное число является делителем почти всех g,a w0(g)- число различных простых делителей g,wn-m(g) = 0, если п>т,a Rg(q, r)- число представлений формы r формой qпо модулю g, т. е. число решений матричного сравнения [img: http://localhost:8080/file/021209-22.jpg] Справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/021209-23.jpg] Имеется ряд равносильных определений для H(q, r)и (см. [17]) выражение через обобщенные суммы Гаусса. Формула (3) содержит, как частный случай, формулу Минковского для веса рода: [img: http://localhost:8080/file/021209-24.jpg] последняя в случае п=2 дает формулу Дирихле для числа классов. Формулы, аналогичные (3), имеют место и для неопределенных К. ф. и форм с целыми алгебраич. коэффициентами (см. [17], [18]). Приложение теории модулярных форм к исследованию мультипликативных свойств количества представлений чисел положительными К. ф. с четным числом переменных было дано Э. Хекке (Е. Несkе, [10]). Теория модулярных форм позволяет получать формулы для R(q, b)(см. обзор [5]). К вопросу о представлении чисел К. ф. от четырех и более переменных применяется круговой метод (см. [4]). Если q- положительно определенная К. ф. над Z, то применение кругового метода приводит для [img: http://localhost:8080/file/021209-25.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/021209-26.jpg] асимптотич. формуле Подобные асимптотич. формулы могут быть получены круговым методом и для неопределенных К. ф. при n [img: http://localhost:8080/file/021209-27.jpg] 4. Для исследования R (q, b)в случае n=3 применяется дискретный эргодический метод Линника (см. [3], [4]). Он заключается в том, что на нек-ром множестве представлений чисел тернарными К. ф. устраивается эргодический поток представлений, управляемый оператором, связанным с задачей представления чисел кватернарными К. ф. Эргодический. метод приводит (при выполнении необходимых условий) к оценке типа R(q, b)> ch(-Db), с = c (q)> 0; в ряде случаев получены и асимптотич. формулы. Для исследования таких вопросов теории К. ф.,как теория приведения, автоморфизмы, арифметич. минимумы К. ф., Ш. Эрмитом (Ch. Hermite) был развит метод непрерывных параметров, превратившийся затем в обширный раздел теории К. ф.- геометрическую теорию К. ф., или геометрию К. ф. (к-рую можно рассматривать и как часть Геометрии чисел). Идея метода состоит в следующем. Заданной n-мерной точечной решетке [img: http://localhost:8080/file/021209-28.jpg] ставится в соответствие та или иная арифметич. величина [img: http://localhost:8080/file/021209-29.jpg] и рассматривается поведение функции [img: http://localhost:8080/file/021209-30.jpg] при малых изменениях параметров решетки Л. Характерной чертой геометрии К. ф. является систематич. использование n(n+1)/2-мерного пространства коэффициентов (параметров), в к-ром решетка Л изображается [img: http://localhost:8080/file/021209-31.jpg] точкой. Пусть - К. ф. с действительными коэффициентами а ij= а ji (i, j=1,..., n). Форме f ставится в соответствие точка f=(а 11,..., а пп, а 12,..., а -1,n) в N-мерном евклидовом пространстве, N=n(n+1)/2, называемом пространством коэффициентов. Положительно определенным формам f при этом отвечает открытый выпуклый конус B с вершиной в начале координат, называемый конусом положительности. Решетке Л соотносится класс эквивалентных n-арных положительно определенных К. ф.; при базисе [ [img: http://localhost:8080/file/021209-32.jpg]..., [img: http://localhost:8080/file/021209-33.jpg] ] решетки L ей ставится в соответствие форма [img: http://localhost:8080/file/021209-34.jpg] Тем самым решетке Л соответствует бесконечное дискретное множество точек конуса положительности [img: http://localhost:8080/file/021209-35.jpg] Если выбрать точную область приведения [img: http://localhost:8080/file/021209-36.jpg] положительно определенных К. ф., то каждой решетке будет взаимно однозначно соответствовать точка [img: http://localhost:8080/file/021209-37.jpg] пространства коэффициентов. Малым изменениям параметров решетки Л отвечают малые изменения точки [img: http://localhost:8080/file/021209-38.jpg] Геометрическая теория К. ф. распадается на ряд достаточно самостоятельных теорий, связанных единым методом исследования. Фундаментом ее является теория приведения положительных К. ф., к-рая, изучая области приведения [img: http://localhost:8080/file/021209-39.jpg] решает проблему эквивалентности положительных К. ф.- одну из центральных задач арифметич. теории К. ф. (см. Квадратичных форм приведение). Существенную роль играет теория Вороного типов решетки. Она имеет важные приложения в теории параллелоэдров. Теория типов получила применение в решении задач об экономнейшем решеточном покрытии n-мерного пространства шарами. Другой традиционный раздел геометрич. теории К. ф.- теория совершенных форм, также созданная Г. Ф. Вороным. Эта теория позволила решить Эрмита проблему арифметич. минимумов положительных К. ф., равнозначную задаче о плотнейшей решетчатой упаковке шаров в га-мерном пространстве. Задача о плотнейшей решетчатой упаковке шаров и задача об экономнейшем решетчатом покрытии шарами - наиболее известные примеры экстремальных задач, составляющих значительную часть К. ф. геометрии. К геометрической теории К. ф. можно также отнести нек-рые обобщения алгоритма цепных дробей, напр, алгоритм Вороного вычисления единиц кубического поля, теорию фундаментальных областей автоморфизмов неопределенных К. ф.