Квадратичные формы поверхности

- общее наименование квадратичных форм от дифференциалов координат на поверхности, инвариантных при преобразованиях этих координат. К. ф. п. характеризуют основные внутренние свойства поверхности и ее расположение в пространстве в окрестности данной точки; обычно выделяют так наз. первую, вторую и третью основные квадратичные формы. Первая квадратичная форма поверхности характеризует внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Это означает, что с ее помощью можно производить измерения на поверхности. Пусть поверхность задана уравнением: [img: http://localhost:8080/file/021209-70.jpg] где ии v- координаты на поверхности; [img: http://localhost:8080/file/021209-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021209-72.jpg] - дифференциал радиус-вектора r(и, v)вдоль выбранного направления смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см. рис. 1). Главная линейная часть приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr: [img: http://localhost:8080/file/021209-73.jpg] и наз. первой основной К. ф. п. См. также Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности характеризует локальную структуру поверхности в окрестности обыкновенной точки. Именно, пусть [img: http://localhost:8080/file/021209-74.jpg] - единичный вектор нормали к поверхности в точке М, где e=+ 1, если тройка векторов [img: http://localhost:8080/file/021209-75.jpg] - правой ориентации, и e=-1 - в противоположном случае. Удвоенная главная линейная часть 2d отклонения точки М' (см. рис. 2) поверхности от касательной плоскости в ее точке Мравна II = 2d = (- dr, dn)= L(и, v)du2+2М(u,v)dudv + N(u, v) dv2, [img: http://localhost:8080/file/021209-76.jpg] где L=(ruu, n), M=(ruv, n), N=(rvv, n). Форма II наз. второй основной К. ф. п. См. также Вторая квадратичная форма поверхности. Первая и вторая К. ф. п. обладают двумя важными совместными скалярными инвариантами относительно преобразования координат на поверхности. Именно, отношение дискриминантов этих форм равно гауссовой кривизне поверхности в точке: [img: http://localhost:8080/file/021209-77.jpg] а выражение [img: http://localhost:8080/file/021209-78.jpg] определяет среднюю кривизну поверхности в точке. Задание первой (положительно определенной) и второй К. ф. п. определяет поверхность с точностью до движения (Бонне теорема). Третья квадратичная форма поверхности представляет собой квадрат дифференциала единичного вектора пнормали к поверхности в точке М(см. рис. 3: III = dn2 = nu2du2 +2nunvdudv+nv2dv2. Третья К. ф. п. равна главной линейной части приращения угла между векторами пи n' при смещении поповерхности из точки Мв точку М'; она является первой К. ф. п. сферического изображения поверхности. [img: http://localhost:8080/file/021209-79.jpg] Три основные К. ф. п. связаны линейной зависимостью: [img: http://localhost:8080/file/021209-80.jpg] Кроме перечисленных выше иногда рассматривают и другие К. ф. п. (см., напр., [3]).