Квадратичный дифференциал

на римановой поверхности R - правило, которое каждому локальному параметру z, отображающему параметрич. окрестность [img: http://localhost:8080/file/021209-84.jpg] в замкнутую комплексную плоскость [img: http://localhost:8080/file/021209-85.jpg] ставит в соответствие функцию Qz: [img: http://localhost:8080/file/021209-86.jpg] такую, что для всяких локальных параметров z1: [img: http://localhost:8080/file/021209-87.jpg] и z2:с [img: http://localhost:8080/file/021209-88.jpg] непустым пересечением [img: http://localhost:8080/file/021209-89.jpg] в последнем выполнено соотношение [img: http://localhost:8080/file/021209-90.jpg] здесь z(U)- образ Uв [img: http://localhost:8080/file/021209-91.jpg] при отображении z. К. д. часто обозначается символом Q(z)dz2, к-рому приписывается указанная инвариантность относительно выбора локального параметра z. Иначе говоря, К. д.- это нелинейный дифференциал типа (2,0) на римановой поверхности. Функции [img: http://localhost:8080/file/021209-92.jpg] входящие в определение К. д., обычно предполагаются измеримыми или даже аналитическими. В последнем случае К. д. наз. аналитическим. Точка [img: http://localhost:8080/file/021209-93.jpg] наз. нулем или полюсом порядка кдифференциала Q(z)dz2, если для каждого локального параметра z функция [img: http://localhost:8080/file/021209-94.jpg] имеет в рсоответственно нуль или полюс порядка k. Нули и полюсы К. д. наз. его критическими точками. Нули и простые полюсы наз. конечными критич. точками, и их совокупность обозначают С. Множество всех полюсов порядка [img: http://localhost:8080/file/021209-95.jpg] обозначают Н. Если кривая [img: http://localhost:8080/file/021209-96.jpg] имеет в каждой своей точке qотносительно локального параметра zкасательную с направляющим вектором az(q). и [img: http://localhost:8080/file/021209-97.jpg] то К. д. Q(z)dz2 наз. положительным и пишут Q(z)dz2>0 на кривой у. Если в (2) вместо знака > имеет место знак <, то К. д. Q(z)dz2 отрицателен (Q(z)dz2<0) на кривой у. Всякая максимальная на Rрегулярная кривая, на к-рой Q(z)dz2>0 (либо Q(z)dz2<0), наз. траекторией дифференциала Q(z)dz2 (соответственно ортогональной траекторией). К. д. Q(z)dz2, определенный на конечной римановой поверхности Л, принадлежит R, если край дR поверхности Rлибо пуст, либо состоит из конечного числа точек [img: http://localhost:8080/file/021209-98.jpg] и дуг у, на каждой из к-рых дифференциал Q(z)dz2 регулярен и положителен пли отрицателен. Если к тому же край dR пуст или если дифференциал Q(z)dz2 на dR регулярен и положителен, то Q(z)dz2 наз. положительным К. д. на R. Метрика [img: http://localhost:8080/file/021209-99.jpg] называемая Q-м етрикой, однозначна на й и инвариантна относительно выбора локального параметра z. В нек-рой окрестности Uлюбой точки [img: http://localhost:8080/file/021209-100.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/021209-101.jpg] регулярна, однозначна и однолистна при каждом выборе знака подинтегрального выражения, причем всякая максимальная дуга траектории (или ортогональной траектории) из Uпри отображении Z(д)переходит в горизонтальный (соответственно вертикальный) прямолинейный интервал. Поэтому через каждую точку [img: http://localhost:8080/file/021209-102.jpg] проходит траектория, являющаяся либо открытой дугой, либо жордановой кривой на R. Топологическая и конформная структуры семейства траекторий в малой окрестности всякой критпч. точки rполиостью классифицированы в зависимости от порядка критич. точки rи (если r- полюс 2-го порядка и z(r) = 0) от [img: http://localhost:8080/file/021209-103.jpg] (см. Локальная структура траекторий). Описание глобальной структуры траекторий известно для конечных римановых поверхностей п имеет много важных приложений (см. также [1]). О. Тайхмюллер (О. Teichmiiller) исследовал роль понятия К. д. для теории экстремальных конформных и квазиконформных отображений и для решения проблемы модулей римановых поверхностей (см. [1] - [3]). Он сформулировал принцип, согласно к-рому экстремальным задачам геометрич. теории функций ставятся в соответствие нек-рые К. д., причем каждому типу экстремальных задач соответствуют определенные особенности (полюсы) К. д., а геометрич. свойства решения связаны надлежащим образом со структурой траекторий К. д. В терминах К. д. доказаны неравенства для коэффициентов однолистных функций. Общее неравенство для коэффициентов, однолистных функций в семействах областей, расположенных на конечной римановой поверхности, носит название рбщей теоремы о коэффициентах и является конкретным воплощением принципа Тайхмюллера для широкого класса задач (см. [1], [4]). Принцип Тайхмюллера позволил также установить специальную теорему о коэффициентах и решить большое число конкретных экстремальных задач (см. [1], [5]).