Квадратичный закон взаимности

- соотношение [img: http://localhost:8080/file/021209-104.jpg] связывающее Лежандра символы [img: http://localhost:8080/file/021209-105.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021209-106.jpg] для различных нечетных простых чисел ри q. Имеются два дополнения к указанному квадратичному закону взаимности, а именно: [img: http://localhost:8080/file/021209-107.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021209-108.jpg] К. Гаусс (С. Gauss) дал первое полное доказательство К. з. в., в связи с чем К. з. в. наз. также Гаусса законом езаимности. Из К. з. в. непосредственно следует, что при заданном целом d, не делящемся на квадрат целого числа, простые р, для к-рых dявляется квадратичным вычетом по модулю р, лежат в нескольких арифметич. прогрессиях с разностью 2|d| или 4|d|. Число этих прогрессий равно [img: http://localhost:8080/file/021209-109.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021209-110.jpg] где j(n) - Эйлера функ ция. К. з. в. дает возможность установить законы разложения в квадратичном расширении [img: http://localhost:8080/file/021209-111.jpg] поля рациональных чисел, поскольку в [img: http://localhost:8080/file/021209-112.jpg] разложение простого числа р, не делящего d, на простые дивизоры зависит от того, приводим или нет многочлен х 2-d по модулю р.