Квадратичных форм приведение

- выделение в каждом классе квадратичных форм (к. ф.)над данным кольцом Rприведенных форм - "стандартных" форм класса (одной или нескольких). Основной целью К. ф. п. является решение проблемы эквивалентности к. ф.: установить, эквивалентны над Rданные к. ф. qи rпли нет, и в случае их эквивалентности найти (описать) все обратимые матрицы Uнад R, переводящие qв r(см. Квадратичная форма). Для решения последней задачи достаточно знать одну такую матрицу U0 и все автоморфизмы Vформы q, ибо тогда U= VU0. Обычно имеется в виду эквивалентность к. ф. над Z, причем часто рассматривается вся совокупность к. ф. над R и их классы над Z. Имеются принципиальные различия в теории приведения положительных (положительно определенных) и неопределенных к. ф. Приведение положительных к. ф. Имеются различные способы приведения над Zдействительных положительных к. ф. Из них наиболее распространенный и изученный - способ приведения по Минковскому (или по Эрмнту - Минковскому), наиболее общий - по Венкову. Распространено также приведение по Зелингу (n=3) и по Шарву (n=4). Определить приведенную к. ф. [img: http://localhost:8080/file/021209-113.jpg] значит задать в конусе положительности B пространства коэффициентов RN, N=n(n+1)/2, область приведения [img: http://localhost:8080/file/021209-114.jpg] так, чтобы q(х)была приведенной тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021209-115.jpg] Желательно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/021209-116.jpg] обладала хорошими геометрич. свойствами (была односвязной, выпуклой и т. п.) и была фундаментальной областью группы Г целочисленных подстановок определителя [img: http://localhost:8080/file/021209-117.jpg] Область [img: http://localhost:8080/file/021209-118.jpg] наз. фундаментальной областью приведения положительных к. ф., если F- открытая область в RN и: 1) для всякой к. ф. [img: http://localhost:8080/file/021209-119.jpg] найдется эквивалентная к. ф. А [img: http://localhost:8080/file/021209-120.jpg] q(Z), для к-рой [img: http://localhost:8080/file/021209-121.jpg] 2) если [img: http://localhost:8080/file/021209-122.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021209-123.jpg] то h1 = h2. а) Приведение к. ф. по Минковскому. Положительная к. ф. q(x)приведена по Минковскому, если для любого k=1,..., пилюбых целых чисел l1..., ln с условием н. о. д. (lk,..., ln)=1, [img: http://localhost:8080/file/021209-124.jpg] Из бесконечного числа неравенств (1) для коэффициентов bij можно выбирать конечное число так, что остальные неравенства из них следуют. В пространстве коэффициентов RN множество приведенных по Минковскому форм образует бесконечную выпуклую пирамиду (гоноэдр) с конечным числом граней, наз. областью приведения Минковского (или гоноэдром Эрмита - Минковского) [img: http://localhost:8080/file/021209-125.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021209-126.jpg] -замкнутое множество, [img: http://localhost:8080/file/021209-127.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/021209-128.jpg] вычислены грани области (Sn (см. [9]). Существует такая постоянная ln, что если к. ф. q(x)приведена по Минковскому, то [img: http://localhost:8080/file/021209-129.jpg] где d(q)=det||bij||- определитель к. ф. q(x). Всякая действительная положительная к. ф. эквивалентна над Zприведенной по Минковскому к. ф. Имеется алгоритм приведения (отыскания приведенной формы, эквивалентной данной) (см. [8], [15]). Для n=2, q=q(x, у) -(а, b, с)=ах 2+2bху+су 2, а, b, [img: http://localhost:8080/file/021209-130.jpg] a>0, d(q)>0 условия приведения имеют вид [img: http://localhost:8080/file/021209-131.jpg] Если ограничиться собственной эквивалентностью (когда допускаются целочисленные преобразования только определителя +1), то область приведения имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021209-132.jpg] (условия приведения Лагранжа - Гаусса). Множество всех неэквивалентных (собственно) приведенных к. ф. записывается как объединение [img: http://localhost:8080/file/021209-133.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021209-134.jpg] Для п=2 имеется алгоритм приведения Гаусса, согласно к-рому от формы, не удовлетворяющей условиям Лагранжа - Гаусса, следует перейти к ее "соседней": [img: http://localhost:8080/file/021209-135.jpg] где целое число квыбирается так, что |b'|< с/2. Для любой действительной к. ф. (a, b, с) алгоритм обрывается через конечное число шагов. Если q=(a, b, с), [img: http://localhost:8080/file/021209-136.jpg] н. б) Приведение к. ф. по Венкову. Это - способ приведения [img: http://localhost:8080/file/021209-137.jpg] зависящий от параметра j - произвольно задаваемой действительной положительной n-арной к. ф. (см. [3]). Говорят, что к. ф. qj-приведена, если [img: http://localhost:8080/file/021209-138.jpg] для всех целочисленных nХn-матриц S определителя 1; здесь j=d(j)j-1 - форма, взаимная с j, [img: http://localhost:8080/file/021209-139.jpg] - к. ф., получающаяся из j подстановкой S,(q1, q2)- полуинвариант Вороного, определяемый так: если q1=B1[x], В 1= [img: http://localhost:8080/file/021209-140.jpg] q2 = B2[x],B2 = [img: http://localhost:8080/file/021209-141.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021209-142.jpg] Совокупность ф-приведенных к. ф. образует в пространстве коэффициентов RN выпуклый гоноэдр [img: http://localhost:8080/file/021209-143.jpg] с конечным числом граней, лежащий в [img: http://localhost:8080/file/021209-144.jpg] Если ф= [img: http://localhost:8080/file/021209-145.jpg] +...+x2n и [img: http://localhost:8080/file/021209-146.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021209-147.jpg] совпадает с областью приведения Минковского. в) Приведение к. ф. по Зелингу и Шарву. Если в приведении по Венкову положить j= [img: http://localhost:8080/file/021209-148.jpg] =где [img: http://localhost:8080/file/021209-149.jpg] - первая совершенная форма Вороного, [img: http://localhost:8080/file/021209-150.jpg] то для n=3 получается приведение по Зелингу, а для n=4 - приведение по. Приведение неопределенных к. ф. принципиально сложнее, чем приведение положительных к. ф. Для них нет фундаментальных областей. Только для n=2 имеется законченная теория приведения к. ф. над Z. а) Приведение неопределенных бинарных к. ф. Пусть q==q(x, y)=(a, b, с)=ах 2+2bху+су 2, [img: http://localhost:8080/file/021209-151.jpg] к. ф. определителя d=ac-b2=-|d| и |d| не есть полный квадрат. Форме qсопоставляется квадратное уравнение az2+2bz+c=0 и его различные иррациональные корни [img: http://localhost:8080/file/021209-152.jpg] Форма qназ. приведенной, если |W| >1, |w| <1, Ww<0. Эти условия равносильны условиям [img: http://localhost:8080/file/021209-153.jpg] (а также условиям [img: http://localhost:8080/file/021209-154.jpg] Число приведенных целочисленных к. ф. данного определителя конечно. Каждая к. ф. эквивалентна приведенной. Существует алгоритм приведения, использующий цепные дроби (см. [1]). Для приведенной к. ф. существует ровно одна "соседняя справа" и ровно одна "соседняя слева" приведенная к. ф. (см. [1], с. 100). Исходя из приведенной к. ф., переходя к "соседним", получают двояко бесконечную цепь приведенных форм. Эта цепь периодична. Конечный отрезок неэквивалентных форм этой цепи наз. периодом. Две приведенные формы собственно эквивалентны тогда и только тогда, когда одна из них встречается в периоде другой. Изложенная теория справедлива и для форм с действительными коэффициентами а, b, с, если W(q)и w(q) - различные иррациональные корни, но цепь приведенных форм при этом может не быть периодичной. Все собственные автоморфизмы (определителя +1) к. ф. с н. о. д. (а, b, с)=1, н. о. д. (а, 2b, с) =s, d= ас-b2<0 имеют вид [img: http://localhost:8080/file/021210-26.jpg] где (t, и)пробегает все решения Пелля уравнения t2+du2=s2,(T, U)- фундаментальное решение этого уравнения, т. е. наименьшее положительное решение. Несобственные автоморфизмы (определителя -1) имеются лишь у двусторонних форм - форм, класс к-рых совпадает с обратным (см. [1], с. 111). Подгруппа собственных автоморфизмов двусторонней формы имеет индекс 2 в группе всех автоморфизмов. Неопределенные целочисленные к. ф. определителя d=-s2, s>0, [img: http://localhost:8080/file/021210-27.jpg] приводятся к виду (0, -s, r), где [img: http://localhost:8080/file/021210-28.jpg] К. ф. (0,- s, r1)и (0, -s, r2), [img: http://localhost:8080/file/021210-29.jpg] r2<2s собственно эквивалентны тогда и только тогда, когда r1 = r2. Все автоморфизмы таких форм суть [img: http://localhost:8080/file/021210-30.jpg] (см. [1], с. 107). б) Приведение неопределенных n-арных к. ф. Пусть q(x) = B[х] = х T Вх- такая форма с действительными коэффициентами и [img: http://localhost:8080/file/021210-31.jpg] Тогда существует такая подстановка переменных (над R): x=Sy, что [img: http://localhost:8080/file/021210-32.jpg] где (t, n-t)- сигнатура к. ф. q. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021210-33.jpg] и B=STDS. К. ф. q(x)сопоставляется положительная к. ф. [img: http://localhost:8080/file/021210-34.jpg] Форма qназ. приведенной (по Эрмиту), если найдется такое преобразование Sформы qк сумме квадратов, что положительная к. ф. hs(x)является приведенной (напр., по Минковскому). Равносильное этому определение приведенной к. ф. следующее [13], [14]. Пусть Ф (q)- множество матриц Ннад R положительных n-арных к. ф., удовлетворяющих равенству НВ -1 Н=В. Это связное t(n-t)-мерное многообразие конуса положительности [img: http://localhost:8080/file/021210-35.jpg] (выписываемое в явном виде). Пусть [img: http://localhost:8080/file/021210-36.jpg] - область приведения положительных к. ф. Форма qназ. приведенной, если [img: http://localhost:8080/file/021210-37.jpg] не пусто. Число классов целочисленных неопределенных к. ф. от ппеременных с данным определителем dконечно (это верно и для положительных к. ф.). Число приведенных форм в данном классе также конечно. Если две целочисленные к. ф. q1 и q2 эквивалентны, то найдется целочисленная подстановка S, абсолютные величины элементов к-рой ограничены постоянной, зависящей только от пи d, переводящая q1 в q2. Тем самым проблема установления эквивалентности или неэквивалентности двух неопределенных целочисленных к. ф. решается в конечное число шагов. в) Автоморфизмы неопределенных к. ф. Проблема описания всех автоморфизмов неопределенной целочисленной К. ф. имеет два аспекта: 1) построить фундаментальную область группы автоморфизмов и 2) описать общий вид автоморфизмов (подобно описанию автоморфизмов через уравнение Пелля). Общий вид автоморфизмов к. ф. был описан Ш. Эрмитом (Ch. Hermite) для n=3 и А. Кэли (А. Сауlеу) для произвольного п(см. [10]). Построена фундаментальная область группы автоморфизмов неопределенной целочисленной к. ф. q(x)в многообразии Ф (q), ограниченная конечным числом алгебраич. поверхностей, и вычислен ее объем [13]. В случае t=1 в и-мерном пространстве переменных построена фундаментальная область группы автоморфизмов к. ф. q(x)в виде бесконечной пирамиды с конечным числом плоских граней [2], [4]. Построена теория приведения к. ф. в алгебраич. числовых полях (см. [11]).