Квадрика

- 1) К.- поверхность 2-го порядка. В трехмерном пространстве (проективном, аффинном или евклидовом) К. есть множество точек, однородные координаты х 0, х 1, х 2, х 3 к-рых (относительно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют однородному уравнению 2-й степени: [img: http://localhost:8080/file/021210-83.jpg] Билинейная симметричная форма [img: http://localhost:8080/file/021210-84.jpg] наз. полярной формой относительно F(x). Две точки М'(х'0, х'1, х'2, х'3), М"(х"0, х"1, х"2, х"3), для которых Ф (х', х") =0, наз. полярно сопряженными точками относительно К. Если прямая (М', М")пересекает К. в точках N1, N2 и точки М', М" полярно сопряжены относительно К., то точки N1, N2 и М', М" образуют гармоническую четверку. Точки К. и только они являются самосопряженными. Прямая, каждая точка к-рой принадлежит К., наз. прямолинейной образующей К. Полюсом данной плоскости относительно К. наз. точка, полярно сопряженная со всеми точками этой плоскости. Множество точек пространства, полярно сопряженных с данной точкой М' относительно К., наз. полярой точки М' относительно К. Касательная плоскость к К.- поляра точки касания. Поляра точки М' определяется линейным уравнением Ф (х, х') =0относительно координат х 0, х 1, х 2, х 3. Если [img: http://localhost:8080/file/021210-85.jpg] то поляра точки М'- плоскость; если [img: http://localhost:8080/file/021210-86.jpg] то поляра точки М'- все пространство. В этом случае точка М' принадлежит К. и наз. ее особой точкой. Если число R = rang(aij) = 4, то К. не имеет особых точек и наз. невырождающейся К. В проективном пространстве это - мнимый овалоид, действительный овалоид или линейчатая К. Невырождающаяся К. определяет корреляцию - биективное отображение множества точек проективного пространства на множество плоскостей. Линейчатая невырождающаяся К. имеет два различных семейства прямолинейных образующих, расположенных на К. так, что всякие две прямые одного семейства не пересекаются, а две прямые разных семейств пересекаются в одной точке. Если R=3, то К. является конусом (действительным или мнимым) с вершиной в единственной особой точке. Действительный конус имеет единственное семейство прямолинейных образующих, проходящих через его вершину. Если R=2, то К. распадается на пару плоскостей (действительных или мнимых), пересекающихся по прямой, состоящей из особых точек. Если R=1, то К. является сдвоенной действительной плоскостью, образованной особыми точками К. Аффинные свойства К. выделяются спецификой расположения К., ассоциированных с ней точек, прямых и плоскостей относительно выделенной плоскости x0=0 - несобственной плоскости. Напр., эллипсоид (гиперболоид, параболоид) - невырожденная К., не пересекающая (пересекающая, касающаяся) несобственную плоскость. Центр К.- полюс несобственной плоскости; диаметр - прямая, полярно сопряженная несобственной прямой.