Квазидискретный спектр

- термин эргодич. теории и топологич. динамики, употребляемый в оборотах: "динамическая система (поток, каскад или порождающее последний преобразование) имеет К. с. (или является системой, потоком и т. д. с К. с.)". В эргодич. теории понятие "преобразование с К. с." фактически рассматривается только применительно к эргодич. автоморфизму Т Лебега пространства(X,m) (хотя приводимое ниже определение формально годится и в более общей ситуации). Для Тиндуктивно определяются квазисобственные функции (к. ф.) и квазисобственные значения (к. з.) га-го порядка. К. ф. 1-го порядка - это обычные собственные функции соответствующего оператора сдвига [img: http://localhost:8080/file/021211-60.jpg] т. е. такие ненулевые fО L2(X,m), что f(Tx)=lf(x)(почти всюду; ниже подобная оговорка опускается), где l- некоторая константа (собственное значение; оно является к. з. 1-го порядка). Если [img: http://localhost:8080/file/021211-61.jpg] и f(Tx) =j(x)f(x), где ф - некоторая к. ф. n-го порядка, то f наз. к. ф. (n+1)-го порядка, а j - соответствующим к. з. (того же порядка). (В [2] вместо к. ф. и к. з. говорится об обобщенных собственных функциях иобобщенных собственных значениях.) Из эргодичности Тследует, что |f(х)| = const для любой к. ф. f, а если f еще и к. з., то |f(x)| = 1. Поэтому часто в определение к. ф. включают условие нормировки |f (х)| = 1. Говорят, что Тимеет К. с, если к. ф. всевозможных порядков образуют полную систему в L2(Х,m). Законченные результаты относятся к тому случаю, когда в дополнение к сказанному Твполне эргодичен (т. е. все его степени эргодичны). Имеется полная метрическая классификация таких T и их свойства хорошо изучены [3]. Понятие К. с. и соответствующую теорию можно обобщить для локально компактных коммутативных групп преобразований пространств Лебега (в частности, для измеримых потоков)- см. изложение результатов Т. Уитинга (Т. Wieting) в [4]. Хотя внешне термин "К. с." выглядит так, как если бы речь шла о нек-ром типе спектра динамич. системы, на самом деле свойство каскада {ГЩ} иметь К. с. не является спектральным, т. е. не может быть выражено в терминах спектральных свойств оператора сдвига UT. Даже если известно, что каскад имеет К. с, спектр еще не определяет однозначно его метрич. свойства. К. с. был введен именно в связи с первым примером метрически неизоморфных эргодич. каскадов с одинаковым спектром ([1], см. также [2]). В этом примере каскады имеют К. с, но у одного из них имеются к. ф. 3-го порядка, а у другого - нет. В топологич. динамике понятие К. с. вводится применительно к гомеоморфизму Ткомпакта X, предполагаемому вполне минимальным (т. е. каждая его степень минимальна). К. ф. и к. з. определяются аналогично предыдущему с заменой L2(X,m)на С(X)(непрерывные функции с комплексными значениями). Тимеет К. с, если к. ф. разделяют точки X. Топологич. вариант теории во многом аналогичен метрическому (см. [5] -[7]). Однако при переходе в топологич. теории от каскадов к потокам с К. с. требуются существенно иные соображения и даже в нек-рой степени приходится выходить за рамки обычных понятий топологич. динамики (оказывается целесообразным рассматривать потоки {Tt}с разрывной зависимостью гомеоморфизмов Tt от t)(см. [8], [9]).