Квазиклассическое приближение

- асимптотическое представление, асимптотика решений уравнений квантовой механики при [img: http://localhost:8080/file/021211-96.jpg] (h- постоянная Планка). Уравнение Шрёдингера [img: http://localhost:8080/file/021211-97.jpg] описывает движение квантовомеханич. частицы в потенциальном поле V(x). Движение классич. частицы описывается уравнением Гамильтона - Якоби [img: http://localhost:8080/file/021211-98.jpg] или системой Гамильтона [img: http://localhost:8080/file/021211-99.jpg] Задаче Коши для уравнения Шрёдингера [img: http://localhost:8080/file/021211-100.jpg] сопоставляется задача Коши для системы (3) [img: http://localhost:8080/file/021211-101.jpg] (здесь функции j, S0, V- гладкие, S0, V- действительные, j - финитна). Асимптотика решения y(t, x)при [img: http://localhost:8080/file/021211-102.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021211-103.jpg] и при малых T>0 имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021211-104.jpg] здесь S(t, x)- решение уравнения (2) с данными Коши S|t=0=S0(x)(классическое действие), а [img: http://localhost:8080/file/021211-105.jpg] где x=x(t, у), p=p(t, у) - решение задачи (3), (5). Функции jj при [img: http://localhost:8080/file/021211-106.jpg] определяются из рекуррентной системы уравнений переноса (это обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль траекторий системы (3)), так что все члены асимптотики выражаются в терминах классич. механики. Принцип соответствия Бора утверждает: "Если hстремится к нулю, то квантовые законы должны переходить в законы классические". Метод отыскания асимптотики в виде (6) был предложен П. Дебаем (P. Debye) и широко применяется в квантовой механике. Асимптотика решения задачи (1), (4) в большом (т. е. за любое конечное время) строится с помощью канонич. оператора В. П. Маслова [3]. Данные Коши (5) заполняют n-мерное лагранжево многообразие А" в фазовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/021211-107.jpg] Его сдвиги [img: http://localhost:8080/file/021211-108.jpg] вдоль траекторий системы (3) - также лагранжевы многообразия; их объединение [img: http://localhost:8080/file/021211-109.jpg] есть (n+1)-мерное лагранжево многообразие в фазовом пространстве R2n+2 с координатами (t, x, р 0, р). Для канонич. оператора [img: http://localhost:8080/file/021211-110.jpg] отвечающего [img: http://localhost:8080/file/021211-111.jpg] справедлива формула коммутации [img: http://localhost:8080/file/021211-112.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021211-113.jpg] - производная в силу системы (3), L- оператор Шрёдингера. Асимптотика решения y в большом дается формулой [img: http://localhost:8080/file/021211-114.jpg] где функции cj определяются из данных Коши (4) с помощью уравнений переноса и выражаются в терминах классич. механики. В нефокальной точке (t0, x0)асимптотика имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021211-115.jpg] где сумма берется по всем лучам, приходящим в эту точку, Sj и Jj- действие и якобиан для j-го луча, lj- индекс Морса j-го луча. Для стационарного уравнения Шрёдингера в К. п. исследованы задача о рассеянии, задача о поле точечного источника, получены квазиклассич. серии (типа бальмеровских) собственных значений. Квазиклассическое приближение в широком смысле слова (синонимы: высокочастотная асимптотика, коротковолновое приближение, приближение геометрия, оптики, метод ВКБ, метод эйконала) - асимптотика решений дифференциальных уравнений с частными производными с действительными характеристиками вида [img: http://localhost:8080/file/021211-116.jpg] а также систем дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. Здесь [img: http://localhost:8080/file/021211-117.jpg] - большой параметр, символ L(x, p;e) слабо зависит от e. Уравнению (9) отвечают уравнения классич. механики - уравнение Гамильтона - Якоби [img: http://localhost:8080/file/021211-118.jpg] и система Гамильтона [img: http://localhost:8080/file/021211-119.jpg] где L0=L(x, р;0). К. п. строится с помощью канонич. оператора, отвечающего инвариантным относительно динамич. системы (10) лагранжевым многообразиям, и имеет вид, аналогичный (8). К. п. широко применяется в современной физике, в задачах о распространении звуковых, упругих, электромагнитных волн, в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике и других вопросах.