Квазиконформное отображение

- отображение с ограниченным искажением или ограниченным отклонением от конформного. Числовой характеристикой искажения при отображении f: [img: http://localhost:8080/file/021212-16.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/021212-17.jpg] является коэффициент k(f, а)квазиконформности (или дилатация) отображения f в этой точке: [img: http://localhost:8080/file/021212-18.jpg] Величина [img: http://localhost:8080/file/021212-19.jpg] наз. коэффициентом квазиконформности (или дилатацией) отображения f в области D. Сохраняющее ориентацию отображение f: [img: http://localhost:8080/file/021212-20.jpg] наз. квазиконформным (или отображением с ограниченным искажение м), если [img: http://localhost:8080/file/021212-21.jpg] оно наз. k-к вазиконформным, если [img: http://localhost:8080/file/021212-22.jpg] Для конформного отображения k(f) = k(f, x)=1. Если f дифференцируемо в точке [img: http://localhost:8080/file/021212-23.jpg] то линейное отображение f' (а)преобразует шар касательного пространства в эллипсоид, отношением наибольшей полуоси к-рого к наименьшей будет k(f, а). Наряду с данным определением часто используются следующие эквивалентные ему условия квазиконформности f в области [img: http://localhost:8080/file/021212-24.jpg] (т. е. f имеет обобщенные производные, локально суммируемые в Dв степени п)и существует такое действительное число k, что [img: http://localhost:8080/file/021212-25.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021212-26.jpg] почти во всех точках [img: http://localhost:8080/file/021212-27.jpg] Термин "К. о.", как правило, предполагает гомеоморфность отображения. Негомеоморфные отображения с ограниченным искажением обычно наз. квазирегулярными. Теория К. о. областей в Rn при п=2 и [img: http://localhost:8080/file/021212-28.jpg] если не считать общих для них и, как правило, более простых вопросов, имеет- ярко выраженную специфику. Двумерная теория. В этом случае дифференциал отображения в точке [img: http://localhost:8080/file/021212-29.jpg] может быть записан в виде [img: http://localhost:8080/file/021212-30.jpg] С точностью до множителя он определяется соотношением [img: http://localhost:8080/file/021212-31.jpg] Функция m(z) наз. комплексной характеристикой отображения /в точке z; |m(z)|<1 для отображений с положительным якобианом J= |fz|2-|fz-|2. Для аналитич. отображений m(z)=0- условия Коши - Римана. Коэффициент k(f, z)квазиконформности отображения в точке выражается через m(z). в виде [img: http://localhost:8080/file/021212-32.jpg] поэтому условие квазиконформности отображения f [img: http://localhost:8080/file/021212-33.jpg] W12 в терминах комплексной характеристики есть Обычно соотношение (1) появляется как уравнение относительно f при известной функции m; оно наз. уравнением (или системой) Бельтрами. Напр., задача конформного отображения одной области Dна другую D' есть задача отыскания гомеоморфизма f: [img: http://localhost:8080/file/021212-34.jpg] удовлетворяющего в Dуравнению Бельтрами с [img: http://localhost:8080/file/021212-35.jpg] К решению общего уравнения (1) сводится, напр., классич. задача об одновременном во всей области Dприведении к канонич. виду заданной в Dположительно определенной квадратичной формы от двух переменных или, что то же самое, задача построения конформно евклидовых координат на двумерной поверхности (см. [2]). Основной факт двумерной теории К. о., аналогичный Римана теореме для конформных отображений, состоит в следующем: для всякой измеримой в области [img: http://localhost:8080/file/021212-36.jpg] функции m(z) такой, что [img: http://localhost:8080/file/021212-37.jpg] найдется квазиконформный гомеоморфизм f области Dс комплексной характеристикой m(z);. общее решение уравнения (1) в области Dимеет вид Fof(z), где f - построенный квазиконформный гомеоморфизм, a F- любая аналитич. функция. Если D- единичный круг, то f можно выбрать так, что f(D)=D. Тогда f продолжается до гомеоморфизма замкнутого круга на себя и условия нормировки f(0)=0, f(1)=1 выделяют единственный гомеоморфизм/: [img: http://localhost:8080/file/021212-38.jpg] удовлетворяющий уравнению Бельтрами. Если, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/021212-39.jpg] 0<a<1, [img: http://localhost:8080/file/021212-40.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021212-41.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021212-42.jpg] - пространство функций, имеющих в D т непрерывных производных, причем последняя удовлетворяет в Dусловию Гёльдера с показателем a. Если последовательность fn нормированных квазиконформных автоморфизмов круга Dтакова, что [img: http://localhost:8080/file/021212-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021212-44.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021212-45.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021212-46.jpg] К. о. как гомеоморфные решения сильно эллиптических систем [img: http://localhost:8080/file/021212-47.jpg] так же естественно связаны с проблемами струйных течений дозвуковой газовой динамики, как конформные отображения, удовлетворяя системе Коши - Римана, связаны с течением несжимаемой идеальной жидкости (см. [1], [5]). Общая задача построения К. о. одной односвязной области на другую, удовлетворяющего системе (2), была поставлена и решена М. А. Лаврентьевым [1] - одним из основателей теории К. о. В явном виде понятие К. о. появилось у X. Грётша (Н. Grotzsch, см. [3]) в связи со следующей экстремальной задачей (задачей Грётша): среди отображений с соответствием вершин квадрата на прямоугольник, не являющийся квадратом, найти наиболее близкое к конформному. Чтобы охарактеризовать меру этой близости, пришлось ввести коэффициент квазиконформности - начальное понятие геометрич. теории К. о. В двумерной теории К. о., как и в теории аналитич. функций, исследованы общие вопросы компактности - нормальности семейства отображений; построена теория соответствия границ; показавшая, что это соответствие осуществляется по тем же простым концам в смысле Каратеодори (см. Граничные элементы), как и в конформном случае; изучены условия устранимости множества особенностей; разработаны вариационные принципы решения основных экстремальных задач на классе квазиконформных гомеоморфизмов (см. [4], [7]). Важное применение в геометрич. теории функций двумерные К. о. получили в исследованиях по проблеме модулей римановых поверхностей в связи с Тайхмюллера пространством и деформацией клейновых групп (см. Пространственная теория. Теория К. о. областей пространства [img: http://localhost:8080/file/021212-48.jpg] также имеет свою специфику. Прежде всего это связано с отсутствием конформных отображений: по теореме Лиувилля всякое достаточно гладкое конформное отображение области [img: http://localhost:8080/file/021212-49.jpg] является мёбиусовым, т. е. суперпозицией инверсий и вращений. Суть этого факта в том, что условия конформности отображения при [img: http://localhost:8080/file/021212-50.jpg] в отличие от условий Коши - Римана при n=2, составляют переопределенную систему уравнений с частными производными. Ниже указаны нек-рые важные результаты пространственной теории К. о. Теорема Лиувилля остается в силе как в случае гильбертова пространства, так и при минимальных априорных условиях регулярности отображения. В теореме Лиувилля имеет место устойчивость в том смысле, что существуют константы k1 и k2 и функция l(e)=О(e)при [img: http://localhost:8080/file/021212-51.jpg] обладающие следующими свойствами: а) если y=f(x)есть К. о. шара | х|<1c k(f)<k1 то существует мёбиусово отображение L(y)такое, что [img: http://localhost:8080/file/021212-52.jpg] и образ единичного шара при отображении Lof содержит шар |y|<1; б) если [img: http://localhost:8080/file/021212-53.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021212-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021212-55.jpg] в) если [img: http://localhost:8080/file/021212-56.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021212-57.jpg] во всем шаре |x|<1. Устойчивость имеет место также в нек-рых классах областей с нерегулярной границей. Подобно тому, как 1-квазиконформное отображение оказывается мёбиусовым даже без априорного предположения гомеоморфности, К. о. локально гомеоморфно как только его коэффициент квазиконформности достаточно близок к 1. В отличие от плоского случая, всякое локально гомеоморфное К. о. единичного шара в Rn, n>3, автоматически гомеоморфно в нек-ром шаре | х|<r(n, k)<1, где rзависит только от размерности ппространства и коэффициента квазиконформности k=k(f)отображения. В частности, локально гомеоморфное К. о. всего пространства Rn, п>3, глобально гомеоморфно и f(Rn)=Rn. Граничное поведение: если f: [img: http://localhost:8080/file/021212-58.jpg] есть К. о, полупространства xn>0 пространства [img: http://localhost:8080/file/021212-59.jpg] на себя, то fпродолжается до гомеоморфизма замкнутых областей; при этом индуцированный на границе [img: http://localhost:8080/file/021212-60.jpg] = Rn-1 гомеоморфизм j: [img: http://localhost:8080/file/021212-61.jpg] в случае n=2 удовлетворяет M-условию; [img: http://localhost:8080/file/021212-62.jpg] а в случае [img: http://localhost:8080/file/021212-63.jpg] является квазиконформным. Каждое из последних двух условий в своей размерности не только необходимо, но и достаточно для того, чтобы отображение ф: [img: http://localhost:8080/file/021212-64.jpg] было граничным следом нек-рого К. о. (при п -4 это пока (1978) не доказано). Вытекающая отсюда возможность продолжить квазиконформный автоморфизм пространства Лобачевского до К. о. абсолюта в совокупности с тем, что 1-квазиконформное отображение сферы конформно и является следом конформного автоморфизма шара, лежит в основе доказательства жесткости пространственных гиперболич. форм: если два замкнутых римановых многообразия размерности [img: http://localhost:8080/file/021212-65.jpg] одной и той же постоянной отрицательной кривизны гомеоморфны, то они изометричны (см. [9]).