Квазициклическая группа

группа типа [img: http://localhost:8080/file/021213-69.jpg] - бесконечная абелева р-группа, все собственные подгруппы к-рой циклические. Для каждого простого рсуществует едийственная с точностью до изоморфизма К. г. Эта группа изоморфна мультипликативной группе всех корней уравнений [img: http://localhost:8080/file/021213-70.jpg] в поле комплексных чисел с обычным умножением, а также факторгруппе Qp/Z р, где Qp- аддитивная группа поля рациональных р-адических чисел, а Z р- аддитивная группа кольца всех целых р-адических чисел. К. г. есть объединение возрастающей последовательности циклич. групп С п порядка р п, и=1, 2,..., точнее - индуктивный предел [img: http://localhost:8080/file/021213-71.jpg] относительно индуктивной системы (С п,jn). В терминах образующих и определяющих соотношений эта группа может быть определена как группа со счетной системой образующих a1, а 2,..., а п,... и определяющими соотношениями [img: http://localhost:8080/file/021213-72.jpg] К. г. являются единственными бесконечными абелевыми (а также единственными локально конечными бесконечными) группами, все подгруппы к-рых конечны. Вопрос о существовании бесконечных неабелевых групп с указанным свойством еще не решен (1978) и составляет одну из проблем О. Ю. Шмидта. К. г. являются полными абелевыми группами, и всякая полная абелева группа есть прямая сумма нек-рого множества групп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел и К. г. для нек-рых простых чисел р. Группы типа [img: http://localhost:8080/file/021213-73.jpg] являются максимальными р-подгруппами мультипликативной группы комплексных чисел, а также максимальными р-подгруппами аддитивной группы рациональных чисел по модулю 1. Кольцо эндоморфизмов группы типа р°° изоморфно кольцу целых р-адических чисел. К. г. совпадает со своей Фраттини подгруппой.