Келдыша - лаврентьева пример

- пример односвязной области D плоскости комплексного переменного z, ограниченной спрямляемой кривой Жордана, но не принадлежащей классу областей Смирнова S. Пусть функция z=/(w) реализует конформное отображение единичного круга Е- {w;|w|<1} на односвязную область D, ограниченную спрямляемой кривой Жордана. Известно, что f(w)непрерывна в замкнутом круге [img: http://localhost:8080/file/021215-49.jpg] а логарифм модуля производной In f'(w)представим в Еинтегралом Пуассона - Стилтьеса [img: http://localhost:8080/file/021215-50.jpg] где m - нормированная борелевская мера на дЕ, Класс Sсостоит из таких областей D, для [img: http://localhost:8080/file/021215-51.jpg] к-рых мера m. в представлении (*) абсолютно непрерывна по мере Лебега на дЕ и интеграл (*) превращается в интеграл Пуассона - Лебега от существующих почти всюду на дЕ граничных значений ln |f'(eiq)|. М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [1] построили для любого k,0<h<1, односвязную область Д, ограниченную спрямляемой кривой Жордана Г, расположенную в круге |z|<h, [img: http://localhost:8080/file/021215-52.jpg] и такую, что при конформном отображении области D на круг Е, [img: http://localhost:8080/file/021215-53.jpg] произвольной дуге кривой Г на окружности дЕ={w; | w|= 1} соответствует дуга той же длины. Эта область D не принадлежит классу S, так как [img: http://localhost:8080/file/021215-54.jpg] =0 почти всюду на дЕ. Проблема характеризации областей класса S(областей типа Смирнова) до сих пор (1978) полного решения не получила (см. [2], [3]).