Киллинга форма

- билинейная форма специального вида на конечномерной алгебре Ли, введенная В. Киллингом [1]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021216-24.jpg] - конечномерная алгебра Ли над полем k. К. ф. на алгебре [img: http://localhost:8080/file/021216-25.jpg] наз. билинейная форма [img: http://localhost:8080/file/021216-26.jpg] где tr обозначает след линейного оператора, a ad x- образ хпри присоединенном представлении алгебры [img: http://localhost:8080/file/021216-27.jpg] т. е: линейный оператор на векторном пространстве [img: http://localhost:8080/file/021216-28.jpg] определенный правилом [img: http://localhost:8080/file/021216-29.jpg] - операция коммутирования в алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/021216-30.jpg] К. ф. симметрична. Операторы adx, [img: http://localhost:8080/file/021216-31.jpg] кососимметричны относительно К. ф., т. е. [img: http://localhost:8080/file/021216-32.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/021216-33.jpg] - идеал алгебры [img: http://localhost:8080/file/021216-34.jpg] то сужение К. ф. на [img: http://localhost:8080/file/021216-35.jpg] совпадает с К. ф. алгебры [img: http://localhost:8080/file/021216-36.jpg] Всякий коммутативный идеал [img: http://localhost:8080/file/021216-37.jpg] содержится в ядре К. ф. Если К. ф. невырождена, то алгебра [img: http://localhost:8080/file/021216-38.jpg] полупроста. Пусть характеристика поля кравна 0. Радикал алгебры [img: http://localhost:8080/file/021216-39.jpg] совпадает с ортогональным дополнением относительно К. ф. к производной подалгебре [img: http://localhost:8080/file/021216-40.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021216-41.jpg]. Алгебра [img: http://localhost:8080/file/021216-42.jpg] разрешима тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021216-43.jpg] т. е. когда B([ х, у],z) = 0 для всех х, у, [img: http://localhost:8080/file/021216-44.jpg] (критерий разрешимости Картана). Если алгебра [img: http://localhost:8080/file/021216-45.jpg] нильпотентна, то В(х, y) = 0 для всех [img: http://localhost:8080/file/021216-46.jpg] Алгебра полупроста [img: http://localhost:8080/file/021216-47.jpg] тогда и только тогда, когда К. ф. невырождена (критерий полупростоты Картана). Каждая комплексная полупростая алгебра Ли содержит вещественную форму Г (компактную форму Вейля) (см. Комплексификация алгебры Ли), на к-рой К. ф. отрицательно определена.