Кирхгофа формула

Кирхгофа интеграл,- формула [img: http://localhost:8080/file/021217-4.jpg] которая выражает значение и(х, t)решения неоднородного волнового уравнения [img: http://localhost:8080/file/021217-5.jpg] в любой точке х=(х 1, х 2, x3)ОWв момент времени tчерез запаздывающий объемный потенциал [img: http://localhost:8080/file/021217-6.jpg] с плотностью f и через значения функции и(у, t)и ее производных 1-го порядка на границе а области W. в момент времени t=t-r. Здесь W - ограниченная область трехмерного евклидова пространства с кусочно гладкой границей s, п- внешняя нормаль к s, r=|х- у|- расстояние между точками хи у. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021217-7.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021217-8.jpg] Интегралы v1(x, t)и v2(x, t)наз. запаздывающими потенциалами простого и двойного слоев. К. ф. (1) означает, что любое дважды непрерывно дифференцируемое решение и(х, t)уравнения (2) представляется в виде суммы запаздывающих потенциалов простого слоя, двойного слоя и объемного потенциала: [img: http://localhost:8080/file/021217-9.jpg] В случае, когда и(х, t)=u(x), f(x, t)=f(x)не зависят от t, К. ф. принимает вид [img: http://localhost:8080/file/021217-10.jpg] и дает решение уравнения Пуассона Du=-f(x). К. ф. широко применяется при решении целого ряда задач. Например, если W.- шар [img: http://localhost:8080/file/021217-11.jpg] радиуса tс центром в точке х, то формула (1) преобразуется в соотношение [img: http://localhost:8080/file/021217-12.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021217-13.jpg] - среднее значение функции j(х). по поверхности сферы |у-x|=t, [img: http://localhost:8080/file/021217-14.jpg] Если j(x) и y(x) - заданные в шаре [img: http://localhost:8080/file/021217-15.jpg] функции, имеющие непрерывные частные производные 3-го и 2-го порядков соответственно, a f{x, t)дважды непрерывно дифференцируема при |x|<R, [img: http://localhost:8080/file/021217-16.jpg] то функция и(х, t), заданная формулой (3), является регулярным решением Коши задачи(4) для уравнения (2) при |x|<R и t<R -|x|. Формула (3) также наз. К. ф. К. ф. в виде [img: http://localhost:8080/file/021217-17.jpg] для волнового уравнения [img: http://localhost:8080/file/021217-18.jpg] примечательна тем, что из нее следует Гюйгенса принцип:решение (волна) и(х, t)уравнения (5) в точке (х, t)пространства независимых переменных х 1, х 2, х 3, t вполне определяется значениями j, дj/дп и y на сфере |у-x|= t с центром в точке хи радиуса |t|. Пусть дано уравнение нормально гиперболического типа [img: http://localhost:8080/file/021217-19.jpg] с достаточно гладкими в нек-рой (т+1)-мерной области Wm+1 коэффициентами aij(x), bj (х), с (х)и правой частью f(x), т. е. [img: http://localhost:8080/file/021217-20.jpg] уравнение, форма к-рого в любой точке xОWm+1 с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к виду [img: http://localhost:8080/file/021217-21.jpg] К. ф. обобщена на уравнение (6) в случае, когда число m+1 независимых переменных х 1,..., х т+1 четно [4]. При этом существенным моментом было построение функции j, обобщающей на случай уравнения (6) ньютоновский потенциал 1/r. Для частного случая уравнения (6) [img: http://localhost:8080/file/021217-22.jpg] обобщенная К. ф. принимает вид [img: http://localhost:8080/file/021217-23.jpg] где у - некоторое положительное число, а - кусочно гладкая граница m-мерной ограниченной области Wm, содержащей внутри себя точку у, п- внешняя нормаль к а; [img: http://localhost:8080/file/021217-24.jpg] [y] означает запаздывающее значение y(х, t): [img: http://localhost:8080/file/021217-25.jpg] Формулу (8) дляуравнения (6) иногда наз. формулой Кирхгофа - Соболева.