Ковариантное дифференцирование

абсолютное дифференцирование, - операция, инвариантным образом определяющая понятия производной и дифференциала для полей геометрич. объектов на многообразиях - векторов, тензоров, форм и т. д. Основные понятия теории К. д. (под названием абсолютное дифференциальное исчисление) были даны в конце 19 в. в работах Г. Риччи (G. Ricci) и в наиболее полной форме изложены им в 1901 в совместной работе его с Т. Леви-Чивита (Т. Levi-Civita) (см. [1]). Сначала теория К. д. строилась на римановых многообразиях и предназначалась в первую очередь для исследования инвариантов дифференциальных форм. Впоследствии оказалось, что определение и свойства К. д. естественным образом связаны с введенными позже понятиями связности и параллельного перенесения на многообразиях, и теперь теория К. д. строится в общих рамках теории связностей. Как аппарат тензорного анализа, К. д. широко употребляется в теоретич. физике, особенно в общей теории относительности. Пусть на n-мерном многообразии Мвведена аффинная связность и соответствующее параллельное перенесение векторов и вообще тензоров. Пусть X- гладкое векторное поле, [img: http://localhost:8080/file/021220-130.jpg] и U- тензорное поле типа (r, s), т. е. г раз контравариантное и s раз ковариантное; ковариантной производной (относительно данной связности) тензорного поля Uв точке [img: http://localhost:8080/file/021220-131.jpg] вдоль векторного поля Xназ. тензор того же типа (r, s) [img: http://localhost:8080/file/021220-132.jpg] где x(t)- точка интегральной кривой у х векторного поля Xс начальным условием x(0)=p, U р и UX(t)- локализации (значения) тензорного поля Uв точках ри x(t)соответственно, [img: http://localhost:8080/file/021220-133.jpg] -результат параллельного перенесения тензора Ux(t) вдоль gX из x(t)в р. Таким образом, основная идея определения ковариантной производной тензорного поля Uвдоль векторного поля Xзаключается в том, что ввиду отсутствия операций между тензорами U р и Ux(t), принадлежащими разным слоям тензорного расслоения над М, т. е. принадлежащими тензорным пространствам Т rs над разными касательными к Мплоскостями Т р М и Т х(t) М, в качестве "приращения" тензора Uрассматривается разность между [img: http://localhost:8080/file/021220-134.jpg] и образом параллельно перенесенного в Т rs(Т р М)вдоль gX тензора [img: http://localhost:8080/file/021220-135.jpg] и дальше, как обычно, берется предел отношения этого "приращения" к приращению аргумента t. В частности, если для точек x(t), близких к р, поле Uполучено параллельным перенесением тензора U р вдоль gX, то [img: http://localhost:8080/file/021220-136.jpg] и тем самым в общем случае ковариантная производная поля Uв точке р вдоль Xопределяет начальную скорость отличия поля Uвдоль gX от результата параллельного перенесения U р вдоль gX- Для тензорных полей нулевой валентности, т. е. для функций f из кольца дифференцируемых функций [img: http://localhost:8080/file/021220-137.jpg] на М [img: http://localhost:8080/file/021220-138.jpg] что приводит к совпадению [img: http://localhost:8080/file/021220-139.jpg] с производной fпо вектору X р, т. е. с Xpf. При Х р=0 для любого тензорного поля U, по определению, считается (С XU)p=0. Введение ковариантной производной позволяет определить ковариантный дифференциал DU для тензорного поля Uвдоль гладкой кривой у(t)как [img: http://localhost:8080/file/021220-140.jpg] и его можно рассматривать как главную линейную часть "приращения" тензора U(в описанном выше смысле) при перемещении точки вдоль уна бесконечно малый участок [img: http://localhost:8080/file/021220-141.jpg] Знание [img: http://localhost:8080/file/021220-142.jpg] для тензорного поля Uтипа (r, s)в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/021220-143.jpg] вдоль каждого векторного поля X позволяет ввести два поля: 1) поле ковариантного дифференциала D U как тензорной 1-формы со значениями в модуле Trs(M), определенной на векторах Xпо формуле [img: http://localhost:8080/file/021220-144.jpg] 2) поле ковариантной производной [img: http://localhost:8080/file/021220-145.jpg] как тензорного поля типа (r,s+1), канонически соответствующего форме DU и действующего на 1-формах wi и векторах X;по формуле [img: http://localhost:8080/file/021220-146.jpg] Обычно под ковариантным дифференциалом понимается не сама 1-форма DU, а ее значения на векторах X, и в таком толковании (DU){X)тоже превращается в тензорное поле типа (r, s), локализация к-рого, в частности, при р = g(О) и Х=у совпадает с введенным выше ковариантным дифференциалом [img: http://localhost:8080/file/021220-147.jpg] вдоль кривой y(t). Иногда ковариантная производная С U называется градиентом тензора U; а производная - ковариантным дифференциалом. Если х'- локальные координаты, [img: http://localhost:8080/file/021220-148.jpg] - базисные векторные поля, е i - сопряженные базисные 1-формы, Xi и [img: http://localhost:8080/file/021220-149.jpg] - координаты векторного и тензорного полей в этих базисах, [img: http://localhost:8080/file/021220-150.jpg] - коэффициенты введенной на Маффинной связности, то, обозначая через [img: http://localhost:8080/file/021220-151.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/021220-152.jpg] координаты тензорного поляСU, получают следующие выражения (для примера взяты r=2, s=l) [img: http://localhost:8080/file/021220-153.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021220-154.jpg] - операция свертки по последним (третьему) контравариантному и (второму) ковариантному индексам. Если М- аффинное пространство, х i- аффинные координаты, то [img: http://localhost:8080/file/021220-155.jpg] является обычной производной тензорного поля Uпо векторному полю X, [img: http://localhost:8080/file/021220-156.jpg] - частными производными Uв точке рпо х k, [img: http://localhost:8080/file/021220-157.jpg] - обычным дифференциалом Uвдоль кривой y(t)и, таким образом, К. д. выступает как обобщение обычного дифференцирования с сохранением известных связей между частными производными и дифференциалами первого порядка. Значение К. д. заключается в том, что оно дает удобный аналитический аппарат для изучения и записи свойств геометрич. объектов и операций в инвариантной форме. Напр., условие параллельного перенесения тензора Uвдоль кривой g. дается уравнением [img: http://localhost:8080/file/021220-158.jpg] уравнение геодезической узаписывается в виде [img: http://localhost:8080/file/021220-159.jpg] условие интегрируемости системы уравнений в ковариантных производных 1-го порядка сводится к нек-рому уравнению для альтернированной разности [img: http://localhost:8080/file/021220-160.jpg] - [img: http://localhost:8080/file/021220-161.jpg] внешнее дифференцирование форм на многообразии и в расслоениях над ним можно также выразить через К. д., и т. д. Определение ковариантных производных высших порядков дается индуктивно: [img: http://localhost:8080/file/021220-162.jpg] Вообще говоря, получаемый при этом тензор [img: http://localhost:8080/file/021220-163.jpg] не симметричен относительно последних ковариантных индексов; высшие ковариантные производные вдоль разных векторных полей также зависят от порядка дифференцирования. Альтернированные разности компонент ковариантных производных высших порядков выражаются через кривизны тензор Rijkl и кручения тензор [img: http://localhost:8080/file/021220-164.jpg] совместно характеризующих отличие многообразия Мс данной связностью от аффинного пространства. Напр., [img: http://localhost:8080/file/021220-165.jpg] Определение К. д. и его свойства остаются в силе и в более общем случае, когда вместо сечения Uтензорного расслоения с аффинной связностью рассматривается сечение j произвольного (действительного или комплексного) векторного расслоения, ассоциированного нек-рому главному расслоению со связностью Г и со структурной группой G, к-рая действует на слое своим представлением в группе невырожденных матриц. Существуют определения К. д. в более общей ситуации, когда расслоение не обязательно является векторным; общий смысл [9] этих определений заключается в аналитическом выражении параллельного перенесения объекта или параллельности определяющего его сечения как равенства нулю результата К. д. Подобные подходы имеются и для бесконечномерных многообразий.