Ковариантный тензор

валентности [img: http://localhost:8080/file/021221-11.jpg] -тензор типа (0, s), элемент тензорного произведения [img: http://localhost:8080/file/021221-12.jpg] sэкземпляров пространства Е*, сопряженного (дуального) к векторному пространству Енад полем К. Относительно операции сложения К. т. одной и той же валентности и умножения их на скаляр TS(E)является в свою очередь векторным пространством над К. Пусть Е- конечномерно и пусть e1,..., е п- базис в Е, а е 1,..., е n- сопряженный с ним базис в Е*. Тогда dim Ts(E)=ns и базис в TS(E)состоит из всевозможных разложимых тензоров вида [img: http://localhost:8080/file/021221-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021221-14.jpg] Любой К. г. [img: http://localhost:8080/file/021221-15.jpg] может быть представлен в виде [img: http://localhost:8080/file/021221-16.jpg] Числа ti1...is наз. координатами или компонентами К. т. относительно базиса e1..., en в Е. При изменении базиса в Епо формулам е i' = а ii' е i и соответственно базиса в Ts(E)координаты К. т. t изменяются по так наз. ковариантному закону [img: http://localhost:8080/file/021221-17.jpg] При валентности [img: http://localhost:8080/file/021221-18.jpg] К. т. наз. ковариантным век тором;. при [img: http://localhost:8080/file/021221-19.jpg] К. т. можно инвариантным образом связать с s-линейным отображением прямого произведения [img: http://localhost:8080/file/021221-20.jpg] (s раз) в К, приняв координаты К. т. tотносительно базиса e1..., en за значения r-линейного отображения tна базисных в Es векторах (ei1..., eis), и обратно; поэтому иногда К. т. определяют как полилинейный функционал на Es. Лит. см. при статье Ковариантный вектор. И. X. Сабитов.